左剰余類
left coset
一般的な剰余類
部分群の同値について、群$ Gの部分群$ Sに対して
「$ x\in Gの同値類」が左剰余類
つまり普通に$ x^{-1}y\in Hのこと
これを$ xHと表記する
定義
群$ Gと、その部分群$ Hに対し、適当に$ g\in Gを選んだ時の
$ gH=\{gh|h\in H\}のこと
ざっくりいうと
群$ Gと、その部分群$ Hについて、
$ x\in Gを適当に選んで、$ Hの全ての元に$ xを左から作用したものの集合$ xH
部分群の同値$ x^{-1}y\in Hの書き方を変えただけ
$ x^{-1}y\in H\Leftrightarrow y\in xH
左剰余類の同値関係による商集合を$ G/Hと書く
つまり左剰余類の集合のこと
$ G/Hは$ Hが正規部分群のとき群となる
$ xHの表記について
これは$ \{x\}Hを略記したもので、
$ xH=\{x\}H=\{xy|y\in H\}のことだmrsekut.icon