同値類
集合$ Sを、同値なもののグループに分けている
定義
$ \simを集合$ S上の同値関係とすると、
$ x\in Sに対し、$ C(x)=\{y\in S|y\sim x\}を$ xの同値類という
性質
任意の$ y,z\in C(x)に対し、$ y\sim z
定義では$ xとの同値関係だったが、それ以外同士も同値であるという主張
もし$ y\in C(x)なら$ C(x)=C(y)
もし$ x,y\in Sで$ C(x)\cap C(y)\ne0なら$ C(x)=C(y)
複数の同値類の間には重複した元はない
同値類は、$ S被りなくグループ分けしている
上の性質は『代数学 1 群論入門』.icon p.49の図が直感的でわかりやすい
https://gyazo.com/1ba4e64d67d593ce7cd19a2184d950ac
同値なものどうしは、全て線が引かれ
同値でないものどうしは、完全に独立する
この四角形が「$ Sの同値類」の一つ
この図では同値類が3つある
例
関連
参考