剰余群 - mrsekut-p

剰余群

商群ともいう

とある「剰余類の群」

とある「集合の群」

とある「集合の集合」

群の構造が入った「剰余類の商集合」

$ G/Nと表記する

部分群(G/<ここ>)は正規部分群なので、$ Nを使うことが多い

ただの部分群なら$ Hと書くことも多いが、正規部分群なので$ Nmrsekut.icon

だから、群構造が入ってない剰余類の商集合は$ G/Hと書くねmrsekut.icon

めちゃくちゃ雑に言うと、剰余類 & 正規部分群が、剰余群

定義

$ Nを$ Gの正規部分群とする

剰余類$ aN,bNの積を$ (aN)(bN)=abNと定義すると、$ G/Nは群になり、

これを剰余群と呼ぶ

剰余群$ G/Nは群である

単位元は$ N=1_GN

$ aNの逆元は、$ a^{-1}N

演算は$ (aN)(bN)=abN

ここに出てくる$ aや$ bは代表元であることに注意mrsekut.icon

商集合に群の構造を入れた

そのために正規部分群という条件が必要だった

そもそも全ての剰余類の集合を商集合と呼んでいた

これはただの集合

https://gyazo.com/350df47541e91a952388b079e31b5ef9

$ \{H,A,B,C,\cdots\}は商集合

このとき、部分群$ Hが正規部分群の場合は、商集合が群になっているので剰余群になる

https://gyazo.com/82845a81352131aba532ef76c96857a2

$ \{H,A,B,C,\cdots\}は商群

$ Gがアーベル群ならば、剰余群$ G/Nもアーベル群

参考