剰余環
factor ring, residue ring
群と環の関係的にそらそう、という感じだがmrsekut.icon
基本的なこと、前提
剰余環は環である
つまり剰余環の元は集合である
逆に言えば、剰余環は集合の集合である
集合同士の演算を定義することで、集合の集合が環になっているのである
$ a+Iという表記の意味
これは集合である
$ \{a+x|x\in I\}という集合を表している
$ aはいったんなんでもいいが以下の話では$ a\in Rとする(後述)
剰余環の元は、「$ a+Iという集合」である
これが環であるためには以下のような式が成り立つ必要がある
$ (a+I)+(b+I)=(a+b)+I
$ (a+I)(b+I)=(ab)+I
これが本当に成り立つのか、そして自然に成り立つのか、などを以下で見ていく
定義
$ a\in Rに対し、$ a+I:=\{a+x|x\in I\}という同値類を考える このような同値類全体の成す集合を$ R/Iと表記する
言い換えれば
$ a+Iの形に書ける$ Rの部分集合全体の集合である
$ a+Iは$ Rの部分集合なので。
ちなみに
$ a+Iのことを$ a\mod Iとも書く
$ (a+I)+(b+I)=(a+b)+I
しつこいが集合+集合=集合という話をしているmrsekut.icon
$ (a+I)(b+I)=(ab)+I
これは環なので、分配律や交換律などの環を構成するための条件は諸々成り立つ
表記
$ R/Iと表記する
逆に言えば、
「$ A/Bは剰余環である」と書いてあれば、
$ Aは環であり、$ Bはそのイデアルである、ことも自動的に言っていることになる
定義にイデアルを用いることで自然に環になっているのがミソ
詳しくは『代数学 2 環と体とガロア理論』.icon pp.24-25
$ Rは加法に関しアーベル群であり、(∵環の定義) $ Iは加法に関し$ Rの部分群なので、(∵両側イデアルの定義)
ここまではわかるmrsekut.icon
従って、加法に関する剰余類の集合$ R/Iは自然にアーベル群になる
環/正規部分群 == アーベル群に自然になるのがピンときていないmrsekut.icon
性質
例
$ \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}=\{\overline{0},\overline{1},..,\overline{m-1} \}
$ mを法とする$ \mathbb{Z}の剰余環
例えば$ \mathbb{Z} / 6 \mathbb{Z}=\{\overline{0},\overline{1},..,\overline{5}\}
これは「6で割りきれる数の集合」「6で割ると1余る数の集合」、、「6で割ると5余る数の集合」という集合の集合
こっちは違うものを指してる？