イデアル - mrsekut-p

イデアル

ideal

とある、環の部分集合

イデアルは加群の特別な場合

$ R \triangleright Iと表記する

環$ Rの部分集合$ Iがイデアルの時

定義

$ Rを環とする

部分集合$ I\sub Rが以下の条件を満たすとき、$ Rのイデアルと言う

$ Iは$ Rの加法に関して部分群である

$ \forall a\in R,\forall x\in Iに対し、$ ax\in Iである

定義

$ Rを環とする

部分集合$ I\sub Rが以下の条件を満たすとき、$ Rのイデアルと言う

$ 0\in I

加法に関する単位元を含む

$ \forall x,y\in I\Rightarrow x+y\in I

$ \forall a\in R,\forall x\in Iに対し、$ ax\in Iである

こっちの方がぱっと分かるmrsekut.icon

和

$ I+J=\{x+y| x\in I,y\in J\}

イデアルの和はイデアル

例

$ I=\mathbb{3Z}, J=\mathbb{2Z}とすると、$ I+J=5\mathbb{Z}になる

積

$ IJ = xy\;(x\in I, y\in J)

$ I=Jのときは$ I^2と表記する

$ I^0=Rである

イデアルの積はイデアル

例

$ I=\mathbb{3Z}, J=\mathbb{2Z}とすると、$ IJ=\mathbb{6Z}になる

例

$ n\mathbb{Z}は環$ \mathbb{Z}のイデアル

参考