『物理数学の直観的方法』
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ブルーバックスで出版されるにあたって削った部分が電子化して公開されている ちょっとしたクイズに答える必要がある
こういうのはおもしろいあんも.icon
実際書籍では潰れていて読みにくいあんも.icon
第1章 線積分、面積分、全微分
第2章 テイラー展開
n次元の三角錐
第3章 行列式と固有値
第4章 eiπ＝－1の直観的イメージ
第5章 ベクトルのrotと電磁気学
電磁気学を理解していないので定義の先に進めないあんも.icon
第6章 ε-δ論法と位相空間
不合理な例
数列$ \{x_n\} に関して$ \lim_{n\to\infty}x_n=\alpha が成り立っていても、$ \lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(\alpha) が成り立つとは限らない
関数$ f(x) を:
$ \begin{cases}1&x\neq0 \\0 &x=0\end{cases} のように定義し、
数列$ \{x_n\} を:
$ x_n=\left(\frac{1}{2}\right)^n のように定義する
1. 関数に$ x_n を代入してから極限値をとった場合
常に$ x_n>0 であるので、$ \lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(1)=1 になりそうに見える
2. 数列の極限値を取ってから関数に代入した場合
$ \lim_{n\to\infty}x_n=0 であるので、$ n\to\infty において$ f(x_n)=f(0)=0 になりそうに見える
数列$ \{x_n\} の有限番目の項で実現される値に$ 0 が含まれていないことで生じた現象
supの概念
開区間$ (0,1) に含まれる数の集合$ A の最大の数について考える
$ 0.999\cdots のように、いくらでも大きな数を取り出すことができる
$ \max は$ \max{A}\in A でなければならないので、元に含まれていない$ 1 は取り出すことができない
$ A に$ 1 は含まれていないが、極限値は$ 1 であるので、これを$ A の上限値と定義して:
$ \sup{A}=1 のようにして、元でないものも取り出せるようにすると解決できる
コンパクト
一様連続
収束する値を知らなくても、独立に番号を動かせば、片方を収束値のように扱うことができる
収束先が元と同じ集合に含まれているか
位相空間
抽象度の度合い
第7章 フーリエ級数・フーリエ変換
光を数式で表現する
振動数$ \omega の光の波動は関数$ e^{i\omega t} で表される
光の強度はスペクトル関数$ A(\omega) を用いて表される
これらをかけて、足し合わせることでもとの光が得られる:
$ \int A(\omega)\cdot e^{i\omega t}
これはフーリエ変換にほかならない
第8章 複素関数・複素積分
第9章 エントロピーと熱力学
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しかしそれを確かめるのは、別に難しいことではない。ピストンの位置を一つ決めて、全部その位置に一旦断熱過程でもっていって比較測定すれば良い。こうすれば断熱過程の影響を白紙状態に戻せるからである。
熱力学では別の方法をとる
出入りした熱量に注目する
等温過程
今の素朴な理解では間違っているかもしれないあんも.icon
第10章 解析力学
やや長めの後記――直観化はなぜ必要か
「対角化解法」で微分方程式は解けるか
ランチェスター過程
臨界曲線の驚異