自然対数の底eを作る
自然対数の底$ e
from 『物理数学の直観的方法』
$ a^x の微分から考える
$ \frac{d}{dx}(a^x)=\lim_{\Delta\to 0}\frac{a^{x+\Delta}-a^x}{\Delta}=\lim_{\Delta\to 0}\frac{a^{x}a^{\Delta}-a^x}{\Delta}=\lim_{\Delta\to 0}a^x\left(\frac{a^{\Delta}-1}{\Delta}\right)
$ \lim_{\Delta\to 0}\left(\frac{a^{\Delta}-1}{\Delta}\right)=1 になるように$ a を選ぶと都合がよい
微分したときの係数が1になるから
$ \left(\frac{a^{\Delta}-1}{\Delta}\right)=1
$ \iff a^\Delta=\Delta+1
$ \iff a=(\Delta+1)^{\frac{1}{\Delta}}
より;
$ \lim_{\Delta\to 0}(\Delta+1)^{\frac{1}{\Delta}}\eqqcolon e
と定義すると都合がよい