divとrotを素朴に定義する

$ \mathrm{div}A=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}

https://gyazo.com/da3f46b8879b1cf97dc726a8d5e7d485

通り抜けたあとで流量に変化がある

箱の中に流量を変化させる作用がある

$ \frac{A_x(x_0+\Delta_x)-A_x(x_0)}{\Delta_x}

箱を無限小にする

$ \lim_{\Delta_x\to 0}\frac{A_x(x_0+\Delta_x)-A_x(x_0)}{\Delta_x}=\frac{\partial A_x}{\partial x}

$ (\mathrm{rot}A)_z=\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}

ベクトル場を水流と考えたとき、その流れの中にある微小な水車の回転速度を考える

どんな場合なら回ってくれるか？

https://gyazo.com/863210730f6b026cc581b49631874ff4

これで左回りに回ってくれる

左回りを正とする

https://gyazo.com/a96eb2702352732b278c0bac9c771ea9

これでも回ってくれる

流速に差があればよい

回転速度は流速の差に比例する

水車の直径を無限小にする:

$ \lim_{\Delta\to 0}\frac{A_y(x+\Delta)-A_y(x)}{\Delta}=\frac{\partial A_y}{\partial x}