2×2の固有値問題を解く
$ \bm{A}=\begin{bmatrix}1&-\Delta\\ -\Delta&1\end{bmatrix} の固有値を求める 縦ベクトル$ \bm{x}\coloneqq\begin{bmatrix}\phi\\ \psi\end{bmatrix} とし、これに対する固有値を$ \lambda とすると
$ \bm{Ax}=\lambda\bm{x}
$ \iff \begin{bmatrix}1&-\Delta\\ -\Delta&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\phi\\ \psi\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda&0\\ 0&\lambda\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\phi\\ \psi\end{bmatrix}
$ \iff \begin{bmatrix}1-\lambda&-\Delta\\ -\Delta&1-\lambda\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\phi\\ \psi\end{bmatrix}=0 。
これを連立方程式の形式にすると
$ \begin{cases}(1-\lambda)\phi-\Delta\psi=0\\-\Delta\phi+(1-\lambda)\psi=0\end{cases}
となり、$ (1-\lambda):-\Delta=-\Delta:(1-\lambda) なので、
$ (1-\lambda)^2-\Delta^2=0\iff\lambda^2-2\lambda+1-\Delta^2=0
という2次方程式をみたしている必要がある。
$ \lambda=\frac{2\pm\sqrt{4-4(1-\Delta^2)}}{2}=1\pm\Delta
なので、$ \lambda=1+\Delta,\lambda=1-\Delta のときのみ関係式が成り立つ。
これらを$ \lambda_1,\lambda_2 とすると、これが行列$ \bm{A} の固有値となる。