行列の対角化
行列を対角化する操作
$ A を$ n\times n の正方行列とし、$ A の固有値と固有ベクトルを$ \lambda_i,\bm{x}_i\quad (i=1,\cdots,n) とすると: $ A\bm{x}_1=\lambda_1\bm{x}_1 ,\\ A\bm{x}_2=\lambda_2\bm{x}_2,\\ \vdots\\ A\bm{x}_n=\lambda_n\bm{x}_n
のように固有値と固有ベクトルを並べることができる
$ n\times n 行列の固有値の個数は高々$ n 個であることが知られている
ここで$ n 個の固有ベクトルを並べて$ P\coloneqq\begin{pmatrix}\bm{x}_1&\bm{x}_2&\cdots&\bm{x}_n\end{pmatrix} という行列にすると
$ AP=\begin{bmatrix}\lambda_1\bm{x}_1&\lambda_2\bm{x}_2&\cdots&\lambda_1\bm{x}_1\end{bmatrix}
$ \iff AP=P\begin{bmatrix}\lambda_1&&&\huge{0}\\ &\lambda_2&&\\ &&\ddots&\\ \huge{0}&&&\lambda_n\end{bmatrix}
のように整理できる
つまり$ \bm{A} の$ n 本の固有ベクトル$ \bm{x}_1,\bm{x}_2,\cdots,\bm{x}_n が線形独立であれば $ A=P\begin{bmatrix}\lambda_1&&&\huge{0}\\ &\lambda_2&&\\ &&\ddots&\\ \huge{0}&&&\lambda_n\end{bmatrix}P^{-1}
つまり$ A に対して:
$ P^{-1}AP=\begin{bmatrix}\lambda_1&&&\huge{0}\\ &\lambda_2&&\\ &&\ddots&\\ \huge{0}&&&\lambda_n\end{bmatrix}
とすれば、固有値を用いて対角化ができる