テイラー展開

Taylor expansion

関数をテイラー級数による無限級数で表す操作

テイラーの定理: Taylor's theorem

$ f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}f^{(k)}(0)x^k + R_{n+1}

$ R_{n+1} = \frac{1}{n!}\int_0^x (x-t)^nf^{(n+1)}(t)\,\mathrm{d}t

剰余項は複数の表示ができる

$ R_{n+1} = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} x^{n+1} \quad(0<c<x)

コーシー型の剰余項

ローシュ型の剰余項

Roche

収束の議論に使うので、極限値に興味がある

動き方はどのようであってもよい

扱いやすい動き方をしてくれたほうが好ましい

関数は条件を満たせばテイラー級数による無限級数で表すことができる

code:tex

\begin{aligned}

f(x)

&= \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}f^{(k)}(0)x^k\\

&= f^{(0)}(0) + f^{(1)}(0)x + \frac{1}{2!}f^{(2)}(0)x^2 + \frac{1}{3!}f^{(3)}(0)x^3 + \cdots\\

\end{aligned}

剰余項を直接積分して評価できることは稀

ラグランジュ型の剰余項で定めて収束の議論をすることが多い