確率論
独立の概念が測度論との問題意識の違いらしい。
いくつかのスタイルが ある。
公理の導出
確率の定義の流儀
メインに置くモノで 2つの流儀がある
事象空間Fと確率空間は、あとから作られる。
標本空間Ωは確率変数の始域に使うだけで、十分に大きければ なんでも良い。 要は shortcut
CDF や PDF まで使えば、確率分布まで隠蔽できる。
↑ 2つは 等価で ある。
慣習的な記法
確率分布Pのなかの確率変数に対する演算は、確率変数による逆像の略記法である。
e.g. P(X > 123)
これは P({ω|X(ω)>123}) の略記
なんなら 等式も さらに値で略記する。
e.g. P(x)
説明
事象空間の一般化が認知現象のモデル化に応用されてると紹介している。 疑義: 病的な可測空間と確率を排除できてないのでは？
minor?
主観 vs 客観
主観確率
en: subjective probability
客観確率
en: objective probability
e.g. 量子現象
存在論的な意味で
4分法: Classical, Empirical, Subjective, and Axiomatic
list:
empirical probability
概念
実際に得られた結果ないし標本点のあつまり と、確率モデルの標本空間（= 母集団の台集合）とでは、指してるモノが違う。 定義に いくつか流儀が ある。
特に cod が有限
記号 Pr
写像
cf. スタイルの違い
多次元版: 同時確率変数
確率測度のこと
確率変数から誘導された確率測度
aka. 前送り測度
ボレル → 実数値
記号 μ
もはや これだけを確率だ と扱っても事足りる。
こまる wint.icon
多次元版もある
種類
離散型（確率分布）
def. 始域が高々加算な分布
差分: 確率質量関数
aka. 確率関数
連続型（確率分布）
def. 分布関数が始域上で連続
微分: 確率密度関数
⊃絶対連続型
積分で書けるとき
混合分布
確率分布の分布関数の凸結合から Lebesgue–Stieltjes測度で定義する。
記法
X ~ F
「確率変数Xは分布Fに従う」と読む
この文それ自体の名前は ない
「確率変数Xの確率分布がFである」という意味
disamb.
確率密度関数のつもりで言う人が存在する…？
aka. 累積分布関数
上限以下を取る確率を考えると、その上限を入力とする関数が作れる。
上のうちの1次元だけを残す
周辺分布を求める操作。具体的には積分する。
def.
上下に有界
特に 0..1
右連続
確率分布と一対一対応がある。
用語を濫用して ともに「分布」と呼ばれがち
単調非減少関数
引き算で計算できて楽
微分可能なら確率密度関数や確率関数が得られる。
ボレル集合体
確率要素
en: random element
確率変数の一般化
確率変数の終域をも一般の可測空間にしたい。
確率密度
連続型確率変数の区間を1点への極限を取ったモノ
単に1点ならゼロなので
abbr. PDF
en: probability density function
連続型の方
派生
同時…
多次元版
周辺…
条件つき…
公式
乗法公式
同時 → 条件付き × PDF
逐次的因数分解
乗法公式の派生
abbr. PMF
en: probability mass function
aka. 確率関数
en: probability function
aka. frequency function
離散型の方
値である確率は、確率質量とも言える
分布の特徴量
派生
条件つき…
関数: X → R
aka. 回帰関数
期待ではないwint.icon
分散
共分散
相関係数
共分散 / 標準偏差×2
あくまでも線形な関係をとらえるモノ
独立
aka. 周辺独立
特に確率変数の独立を指す
事象の独立もある。
vs. 従属
これは主従を連想するので好まない。wint.icon
定理
独立 ⇒ 共分散 = 0 ⇒ 相関係数 = 0
逆は真ならず
真なる分布
仮定（措定）される存在
データもといサンプルの分布ではない。
母集団分布
abbr. independent and identically distributed
確率変数のあつまりに対する述語
サンプルサイズ n の無作為標本
n 个のとき
en: random sample
つまりモデルの斉一性
推定量
def. 標本から真値を推定するとき、その推定された量
有限的な人間が決め打ちするモデル
無数のサンプルも極限操作も無理
人工的な仮定であって、モデル（道具）として十分に近似的に正しければ 用は なす。
道具的な存在
順序統計量
i.i.d. 確率変数の族を考えて順序を入れる。
互いに非独立になる。
PDF
閉じた式で えられる。
cf. 多項分布
e.g. ベータ分布
KL divergence
aka. KL 情報量
特性関数
変数の虚数をかけないと積率母関数になる。
定理
$ P(A) = \sum_{i∈I}P(A_i \cap B_i) = \sum P(A_i \mid B_i)P(B_i)
$ P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A)P(A)}{P(B)} = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
Chebyshev's inequality
ja: Chebyshevの不等式
確率変数の振る舞い（期待値から外れる確率）を分散で評価できる。
初手に有効である。
定義
期待値
en: law of total expectation
分散
en: law of total variance
条件付き期待値
期待値ではなく確率変数である。
基礎づけ
サンプルの分布がサンプルサイズの増大にともなって正規分布に漸近していく。 確率model の modeling の話
2. 確率はそういう不確実性のモデリングにも使える
というのが一番大事な発想の飛躍で，この枠組みでは「彼が試験に合格した確率」とかが扱えるようになります．こういうランダムネスと無関係な不確実性を表すのにも確率は便利なんです．
@tmaehara: 確率は単なる測度だから P(θ) という分布で何を表現するか（e.g., ランダムネス・不確実性・傾向・etc）は利用者に任されていて，上述が１通りの解釈というわけでは全然ないけれど，統計の文脈だとこういうのが多いという感じです． 統計学は応用確率論か？wint.icon
応用は学際的な色を帯びる？wint.icon
disamb.
独立性
書籍
原 啓介 (2020)『測度・確率・ルベーグ積分: 応用への最短コース』
『統計学への確率論，その先へ: ゼロからの測度論的理解と漸近理論への架け橋』
ref.