確率変数
定義
可測空間 → 可測空間
Vは数のクラスに属する。
典型的には実数$ \R
つまり cod は $ \mathcal{B}_V, \mathcal{B}_\R
さらには homomorphism でも ある、という
別の定義
Xが その$ ∀x∈\mathrm{cod}(X).(-∞,x] の逆像が すべて事象空間に属する場合は、Xは確率変数である。 ref. 黒木 学『数理統計学』p. 37 (3.1)
同値性が示せる。
拡張
多次元に できる。
多次元確率変数
aka. 確率変数ベクトル
ただし確率ベクトルは同じ確率空間から取るものとする場合もある。
aka. 同時確率変数
特に2次元以上の場合
多次元分布関数
分布関数も同様
aka. 同時分布関数
特に2次元以上のモノを こう呼ぶ。
多次元確率分布
aka. joint distribution, joint probability distribution
ja: 同時分布、同時確率分布
特に2次元以上
測度論的確率変数
F-可測な実数値函数
値域を台とする可測空間と 誘導された像測度と から、あらたな確率空間が得られる。
つまり、この像測度も確率測度である。
Vを台とする可測空間は、大抵はボレル空間だろう。wint.icon
確率分布との関係
やっぱり定義域が標本空間だと不便なので、隠蔽したりする。
値域から 直接 確率測度の値に行きたい。
→ 合成したら良い。つまり誘導された像測度
$ \mathrm{Pr} \, \circ \, \operatorname{fmap} X^{-1} ~ \equiv ~ \operatorname{fmap} X^{-1};\mathrm{Pr} ~ \equiv ~ X*\mathrm{Pr}
型: B(R) → R
よって新しい確率測度として確率分布を定義できる。
値の集合から（事象を経由して）確率の大きさ (measure) へと写像する関数のこと
$ \mathcal{P}(\mathrm{cod}(X)) \to \R
さらに PMF ないし PDF に簡略化できる
Q→R, R→R
結局、確率変数の定義域を忘却して気にせずに確率を操作できる。
分類
離散
離散型確率分布
abbr. PMF
値: 確率質量
aka. 確率
連続
連続型確率分布
abbr. PDF
値: 確率密度
二分法
連続は単関数近似を使って離散なモノから作る。
正体
変数と言いつつ、実は写像
ref.
Ω → K の Ω を後回しにできることが圏論の言葉で説明できる。
測度論を必要としない？
圏論的確率変数
Gray monad による拡散を基礎とした体系が作れる？
誘導？
可測集合の引き戻しf^*と測度の前送りf* とには随伴関係がある？
ref.