2階tensorを2階等方tensorと偏差tensorの和で表す分解
はtensorの次元
2階tensorを2階等方tensorと偏差tensorの和で表す分解
TT=TTD+TTI
TTI:=n1(trTT)II
nはtensorの次元
TTD=TT−TTI
逆行列と転置行列が等しい行列のこと
AA⊤=AA−1
#2022-03-07 12:15:28
これについて言及している資料は探しにくい
見つけたものを列挙しておく
『土質力学 (土木工学叢書)』
中瀬さんが書いている章
(『土質力学特論 (土木工学大成〈7〉)』)
寝る前やること
1. ✅明日の天気確認
2. 明日やることを視界に入れる
3. /takker/2023-07-24の行動を振り返る
4. /takker-memex/昨日やり残したことと今日やること整理 2023-07-31を開いて、やり残したことと明日やることを貼り付ける
いくつかのルートが有る
立式
2階のtensorの成分表示の座標変換
微小領域の力の釣り合い
力の釣り合いから応力tensorの座標変換式を求める
(2022-09-22)が連続体力学の学習でまだやれていないのが、連続体力学に登場するパラメタの時間微分の性質
このページで、言葉の定義を整理しつつ、理解を書き出してみたい
2024-01-05 連続体力学全般のメモを書くページに変えた
まとまったメモから適宜切り出している
物質点の位置
ある正規直交基底E=(ee0,ee1,ee2)と3次元2階対称tensorTTを用意する
TTを対角化してTT:=[TT]iiCCccicciと書けることにする
ここで、JJ:=cc0cc0+ωcc1cc1+ω2cc2cc2=ωiccicciを導入する。
from 連続体力学メモ
4. 弾性論概説
弾性体の構成則
弾性体中の物質点Xに働く応力は、一般に↓で表せる
(F,X)↦P
色々方法がある
tensorの直和分解
対称tensorと反対称tensorの和
なにかの計算で便利だったんだけど、忘れた……
数学演習 I (演習)でやったのは覚えている
等方弾性体の弾性係数tensorは、2つのscalarで表現できる
証明
4階等方tensorよりCC=λIIII+μII~+μ′IIと表せる。
一方、ひずみtensorの対称性よりCijkl=Cijlkだから
λIIII+μII~+μ′II=λIIII+μII+μ′II~
Cauchy応力tensorの第1不変量を次元数(3次元なら3)で割ったもの
σm:=trItrσ
記号はpを使うことが多い
平均応力とも呼ばれる
どちらに統一するか悩んでいる
trace (tensor)が0の2階tensor
テンソル不変量 [物理のかぎしっぽ]
応力tensorから静水圧成分を分離したいときに使う
等方-偏差分解
任意の2階tensorは等方tensorと偏差tensorの和に分解できる
等方-偏差分解とtensorの直和分解を適用した分解のこと
TT=偏差成分TTSD+等方成分n1(trTT)II+反対称成分TTW
[$ T_{SD}:=\frac12(\pmb T+\pmb T^\top)-\frac1n\mathrm{tr}\left(\frac12(\pmb T+\pmb T^\top)\right)\pmb I={\cal\pmb S}:\pmb T-\frac1n\mathrm{tr}({\cal\pmb S}:\pmb T)\pmb I={\cal\pmb D}:{\cal\pmb S}:\pmb
2次元Cauchy応力tensorの座標変換からMohrの応力円を導出するでは回転行列を頑張って解いたが、複素数の掛け算を使ったほうが簡単に計算できるかもしれない
立式
2次元Cauchy応力tensorの座標変換からMohrの応力円を導出するより
[II]RE=(cosθ−sinθsinθcosθ)
Mohr円導出で使った、等方-偏差分解を更に発展させたやつ
[T]=t−(100−1)+t+(1001)+τ(0110)
[T]は対称行列だとする
各基底の性質
[J]:=(100−1),[I]:=(1001),[D]:=(0110)のとき
from 偏差tensorの不変量
Aの偏差第2不変量JJAと種々の不変量との関係
3次元2階tensorのとき
固有値による表現
JJA=2131−3(λ0+λ1+λ2)2+λ0λ1+λ1λ2+λ2λ0
from 応力函数を用いて棒部材のねじりを調べる
単純ねじりとして、端面にねじりmomentMがかかっているとする
このときのσxxを求める
単純ねじりなので、端面での軸力と剪断力、曲げモーメントは0になるから
∫AσxxdA∣∣∣∣∣x=0,l=0∧∫AyσxxdA∣∣∣∣∣x=0,l=0∧∫AzσxxdA∣∣∣∣∣x=0,l=0
表面力vectorからMohr円を導出したい
tt:=σσ⋅nn
nn:面の法線vector
単位vectorだとする
σσのspectre分解をσσ=i∑σippippiとする(tensor積⊗は略す)
Mohr円は、当然だがどの座標系からみた2階tensor成分から計算しても、同じ円を描く
これは、Mohr円が本質的に2階tensorの不変量で構成されることを意味する
実際に、Mohr円の各パラメタは不変量で表現する事ができる
描画対象の2次元2階tensorをTTとしたとき
Mohr円のσ軸上の位置=21trTT=21J1
AA†AA=II
逆行列とHermite行列が等しくなる行列のこと
直交行列の複素線型空間ver.と思えばいい
#2023-08-14 22:11:44
新記法書き換え作業中
E=(eei)i, F=(ffi)i, ffˉi=j∑[GG]ijeeˉjのとき、[aa]F=[GG]⊤−1[aa]Eになる
E,Fは順序付けられた基底
from tensor代数とtensor解析メモ
性質
E:=(eei,⋯,een)とF:=(eei,⋯,een)を任意の基底とする
大雑把にいうと、恒等tensorの成分表示は座標変換行列となる
[II]ijEF=eei⋅ffj
交代tensorは、scalar倍を除いた唯一の3階等方tensorである
証明
交代tensorεε3階等方tensor
標準基底Eを用いて、[εε]ijkEˉEE=[εε]ijkEEE=ϵijkと表せるとする
一部takkerのtensor記法に書いてあることと重複するかも
やりたいこと
vectorvvのある正規直交基底S:={ee0,ee1,ee2}における成分表示[vv]S=(v0S,v1S,v2S)⊤を、別の正規直交基底T:={ff0,ff1,ff2}における成分表示[vv^T=(v_0^T,v_
A:=⎝⎛a00a10a20a01a11a21a02a12a22⎠⎞とする
AA⊤=Iよりa002+a102+a202=1だから、球面の媒介変数表示を使える
∃θ,ϕ∈R;
寝る前やること
1. ✅明日の天気確認
2. 明日やることを視界に入れる
3. /takker/2023-07-31の行動を振り返る
4. /takker-memex/昨日やり残したことと今日やること整理 2023-08-07を開いて、やり残したことと明日やることを貼り付ける
2x2次元
(0110)
交換行列
#2023-08-07 13:50:36
∀x,y,z∈R;x2+y2+z2=1⟺∃!θ∈[0,π[∃!ϕ∈[0,2π[;⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x=sinθcosϕy=sinθsinϕz=cosθ
球面を三角函数で表すやつ
証明
∀x,y,z∈R;にて
∀x,y∈R;x2+y2=1⟺∃!θ∈[0,2π[;x=cosθ∧y=sinθ
円を三角函数で表示するやつ
証明
∀x,y∈Rにて
x2+y2=1
知りたいこと
✅️usernameの色に採用されるロール (discord)の順位付けを知りたい
→/discordwiki/ロールの色の優先順位
ロールの色を初期値にすれば、順位関係なく他のロールの色に上書きされるようだ
ロールの組み合わせで権限を示したい
from ✅ロールの優先順位の仕組みをマニュアル読んで理解する@2023-07-22
SlackにはあるがDiscordにない機能
Discordでできないこと | Slackユーザ向けにDiscordの概要を説明する - Qiitaで今はできるようにいなったことに打ち消し線を入れる
scrapbox2ankiの改善点
❌defaultのdeck (Anki)とnote type (Anki)を指定する
✅deck/note typeが指定されていない問題は除外する
⬜makeApkgからデータ読み込み機能を分離する
note (Anki)を記述するページで複数のdeck (Anki)とnote type (Anki)を設定できるようにする
2023夏休みの目標
重要なもの
学習
一つの単元にfocusを当てたい
土質力学
scrapbox上でapkgを作成するworkflow
https://github.com/takker99/scrapbox2anki
Scrapboxを使ったAnkiデータ構築案:穴埋め特化verやらScrapboxを使ったAnkiデータ構築案1やらのコードを全部ここに入れることにした
コードが複数のページに分かれて複雑になってきた
scrapboxでコードの差分を管理するのは非常に難しい
前回:カウンセリング 2023-07-25
振り返り
2023-w30 振り返り
2023-w31 振り返り
26と28以外はなんとか書いた
サーバー (Discord)全体の通知を設定する項目
サーバーメンバー全員に設定されるのか、自分だけに適用されるのかがわからない
メンバー全員に適用されるように書かれているサイト
https://superai.info/discordtpt/
設定したユーザーのみに適用されると書かれているサイト
寝る前やること
1. ✅明日の天気確認
2. ✅明日やることを視界に入れる
3. /takker/2023-07-23の行動を振り返る
4. /takker-memex/昨日やり残したことと今日やること整理 2023-07-30を開いて、やり残したことと明日やることを貼り付ける
from 2023-07-30 振り返り
起床失敗 2023-07-29 ~
04:00付近に起床するはずが、なぜか06:00までずれ込んでしまっている
2023-07-31も同じく
from 『連続体の力学序説』 p.45
変位uuの時間変化があった時、それにより連続体内部に変形が発生し、それがpotential energyとして蓄えられる
dt時間内での連続体Bt内部のエネルギー変化をdWとすると、
dW=境界に働く仕事∫∂Btvvdt⋅σσ⋅dss+微小領域に直接働く仕事∫BtKK⋅vvdtdv
from https://zenn.dev/yonajs/articles/dc330d8d81b60f#型ガード(type-guard)とは%EF%BC%9F
export const isObject = (value: unknown): value is { [key: string]?: unknown } =>
typeof value === "object" && value !== null;
野田キャンパスの図書館に付属しているcommunity holeみたいなところ
無線LAN環境が最悪
tus.ac.jpが弱すぎる
scrapboxが使えないレベル
wpa.tus.ac.jpならなんとか使える
寝る前やること
1. ✅明日の天気確認
2. ✅明日やることを視界に入れる
3. /takker/2023-02-27の行動を振り返る
4. /takker-memex/昨日やり残したことと今日やること整理 2023-03-06を開いて、やり残したことと明日やることを貼り付ける
/dairy-woodchuck/レンチンですら面倒くさい
の場合だと、温めている間にやり始めたことに夢中になり、温めたことを忘れてしまうことがある
井戸端で具体的な出来事を一つ書いてある
兄に食われてしもうた……
/kanasta/レンチンですら面倒くさい#63fc873379d3a90000419015なら、餅を温めていることを忘れる
[AA]ijEE=Aij
λ2−(A00+A11)λ+(A00A11−A012)=0
⟺λ=21(A00+A11)±21(A00−A11)2+4A012
A+:=21(A00+A11), A−:=21(A00−A11)then
/sta/健康維持活動のハードル#6292af1b79d3a90000803361
そういうことじゃないと思ったので返信
「これくらいのハードルをこなせないんだったら普段の知的活動(各種インプットやプログラミング)も無理では?」
無理です
が、↓でやってしまう場合がよくある
/suto3/Shields.io
想像より自由度が高かった
#2023-03-06 19:45:26
実対称tensorの固有値は実数になる
任意の対称tensorでは成立しない?
proof.
AA=AA⊤⟹
∀λ∈C;
2階対称tensor
共変成分表示もしくは反変成分表示したとき、左上から右下に引いた対角線に対して線対称の位置にある対称tensorの成分は等しくなる
proof
∀Eについて
AA=AA⊤
色々ある
書体
\topを使う
A⊤
書体はこれが一番好き
休養と言われても、何をすればいいのかが全くわからない
ダラダラするだけだと健康的な生活習慣を維持できないだろうし
何かしなければならないという焦りに囚われてしまう
ここでは「休養する」という行為の具体的な内容の例を挙げる
とりあえず疲れが残らない範囲なら何をやってもいいらしい
from カウンセリング 2021-11-30
以前どんなことに困っていたか
あんまり覚えていないんだよなー
高校時代とか予備校時代を見てみるしかないか
その中で
/cmang1dovob/心の自転
コペルニクス的転回を想起した
#2023-03-06 11:56:43
from Mohr-Coulombの破壊規準
/takkerでは、表記をMohr-Coulombの破壊規準に統一する
土質力学ではもっぱら「Mohr-Coulombの破壊規準」が使われるが、他の降伏条件と統一して扱いたいので、「降伏条件」と呼ぶことにする
降伏と破壊は意味が違った!!!
複数のscrapbox projectで使っているUserCSS
コードブロック記法に行番号を表示するUserCSS (Mijinko)
@import "../コードブロック記法に行番号を表示するUserCSS_(Mijinko)/style.css";
のびのびドロップダウン
@import '../のびのびドロップダウン/style.css';
非圧縮性Newton流れにおけるNavier-Stokes方程式の各パラメタを、ensamble平均成分と変動成分とに分解(Reynolds分解と呼ぶ)して書き直したもの
乱流を解析する時に使う
ρDtDv=ρff−∇∇p+μΔvv−ρ∇∇⋅vv′vv′
寝る前やること
1. ✅明日の天気確認
2. ✅明日やることを視界に入れる
3. 今日やり残したことをいつやるか決める
↑2022-09-29に書く
3次元対称tensorから3次元のMohr円を導くのに必要?
TT⊤=TT=i∑λippippiのとき、
TTnn
なんか同じメモをどこかに書いたぞ
任意の面に働く表面力vectorの成分を求めるだ!
寝る前やること
1. ✅明日の天気確認
2. ✅明日やることを視界に入れる
3. 今日やり残したことをいつやるか決める
↑2022-09-28に書く
寝る前やること
1. ✅明日の天気確認
2. ✅明日やることを視界に入れる
3. 今日やり残したことをいつやるか決める
↑2022-09-15に書く
地下水位が下がると有効応力が増加する事実がわかる
そのうち書く
簡単にきれいなグラフを書くツールか仕組みがほしい……
#2022-09-15 13:45:01
/motoso/とことん汎用化してみる#629c41df774b170000c41878
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戦略に該当する
土木工学の目線は常にこれ
後者()が「手法から応用先を探す」