等方-偏差分解を用いてMohr円を導出する
ここでは、$ A:=\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}\\a_{01}&a_{11}\end{pmatrix}のMohr円の式を導いてみる
$ A=\begin{pmatrix}a_-&a_{01}\\a_{01}&-a_-\end{pmatrix}+a_+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}ー①
ここで、
$ a_-:=\frac12(a_{00}-a_{11})
$ a_+:=\frac12(a_{00}+a_{11})
一方、直交行列$ R=\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}と$ J=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}の積について次の性質が成り立つ $ RJ=JR^\topー②
証明
$ RJ=\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-b&a\\a&b\end{pmatrix}
$ \underline{RJ=(RJ)^\top=J^\top R^\top=JR^\top\quad}_\blacksquare
以上を用いて、反時計回りに$ \thetaだけ回転させた座標系で$ Aを座標変換した行列
$ A':=\begin{pmatrix}a'_{00}&a'_{01}\\a'_{01}&a'_{11}\end{pmatrix}:={R(\theta)}^\top AR(\theta)
ここで、$ R(\theta):=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}とした
を求める
$ A'={R(\theta)}^\top AR(\theta)
$ ={R(\theta)}^\top\begin{pmatrix}a_-&a_{01}\\a_{01}&-a_-\end{pmatrix}{R(\theta)}+a_+{R(\theta)}^\top IR(\theta)
$ \because①
$ =R(-\theta)\begin{pmatrix}a_{01}&a_-\\-a_-&a_{01}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}{R(\theta)}+a_+ I
$ =\sqrt{{a_{01}}^2+{a_-}^2}R(-\theta)R\left(\phi-\frac12\pi\right)R(-\theta)\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}+a_+ I
$ \because②
ここで、$ \phi:=\tan^{-1}\frac{a_{01}}{a_-}とした
$ \sqrt{{a_{01}}^2+{a_-}^2}\cos\phi=a_-,\sqrt{{a_{01}}^2+{a_-}^2}\sin\phi=a_{01}
$ \cos(\phi-\frac12\pi)=\Re(-ie^{i\phi})=\sin\phi
$ \sin(\phi-\frac12\pi)=\Im(-ie^{i\phi})=-\cos\phi
$ =\sqrt{{a_{01}}^2+{a_-}^2}R\left(\phi-2\theta-\frac12\pi\right)\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}+a_+ I
$ \because ②
$ =\sqrt{{a_{01}}^2+{a_-}^2}\begin{pmatrix}\sin(\phi-2\theta)&\cos(\phi-2\theta)\\-\cos(\phi-2\theta)&\sin(\phi-2\theta)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}+a_+ I
$ \underline{\implies\begin{dcases}a'_{00}&=\sqrt{{a_{01}}^2+{a_-}^2}\cos(\phi-2\theta)+a_+\\a'_{01}&=\sqrt{{a_{01}}^2+{a_-}^2}\sin(\phi-2\theta)\end{dcases}\quad}_\blacksquare
$ (a'_{00},a'_{01})をプロットすれば、Mohr円ができる
このように、面倒な三角函数計算と行列計算を省いて$ {R(\theta)}^\top AR(\theta)を求めることができる
3次元行列の場合
$ a_+:=\frac13(a_{00}+a_{11}+a_{22})
$ a_{0-1}:=\frac13(a_{00}-a_{11})
$ a_{1-2}:=\frac13(a_{11}-a_{22})
$ a_{2-1}:=\frac13(a_{22}-a_{00})