共変と反変学習log

学習logなので他者に説明できる形にはなっていない

共変成分/反変成分とは

https://kakeru.app/02da7eb1d0c76c709055c5035f2c09e0 https://i.kakeru.app/02da7eb1d0c76c709055c5035f2c09e0.svg

https://kakeru.app/dce9b6b2292d775c076e0b816b915626 https://i.kakeru.app/dce9b6b2292d775c076e0b816b915626.svg

反変成分の基底以外はわかった

$ \pmb{a}=a^0\pmb{e}_0+a^1\pmb{e}_1

$ a_k:=\pmb{a}\cdot\pmb{e}_k

とすると、$ |\pmb{a}|^2を正規直交座標における内積の形に帰着できる

$ a_k=a^k|\pmb{e}_k|^2+a^ka^j\pmb{e}_k\cdot\pmb{e}_j\llbracket k\neq j\rrbracket

$ \therefore|\pmb{a}|^2={a^0}^2|\pmb{e}_0|^2+{a^1}^2|\pmb{e}_1|^2+2a^0a^1\pmb{e}_0\cdot\pmb{e}_1

$ =a^0\left(a^0|\pmb{e}_0|^2+a^1\pmb{e}_0\cdot\pmb{e}_1\right)+a^1\left(a^1|\pmb{e}_1|^2+a^0\pmb{e}_0\cdot\pmb{e}_1\right)

$ =\Large \color{red}{a^0a_0+a^1a_1}

あとは反変成分の基底か。

$ \cancel{\pmb{a}=a_0\pmb{e}^0+a_1\pmb{e}^1}

$ \cancel{\pmb{e}^k=\pmb{A}\pmb{e}_k}

$ \cancel{\implies a^k=\pmb{A}a_k}

線型独立を使えば直ちに求まる

計算ミス。こんなの成り立たない

そもそも左右の階数が合わないじゃんtakker.icon

共変と反変学習log#60c0aca51280f00000add1f4より

$ \pmb{a}=\left(a^0|\pmb{e}_0|^2+a^1\pmb{e}_0\cdot\pmb{e}_1\right)\pmb{e}^0+\left(a^1|\pmb{e}_1|^2+a^0\pmb{e}_0\cdot\pmb{e}_1\right)\pmb{e}^1

この2式はいらなかった

$ =a^0\left(|\pmb{e}_0|^2\pmb{e}^0+(\pmb{e}_0\cdot\pmb{e}_1)\pmb{e}^1\right)+a^1\left((\pmb{e}_0\cdot\pmb{e}_1)\pmb{e}^0+|\pmb{e}_1|^2\pmb{e}^1\right)

$ =a^0|\pmb{e}_0|^2\pmb{e}^0+a^1(\pmb{e}_0\cdot\pmb{e}_1)\pmb{e}^0+a^1|\pmb{e}_1|^2\pmb{e}^1+a^0(\pmb{e}_0\cdot\pmb{e}_1)\pmb{e}^1

$ =\left(a^0(\pmb{e}^0\otimes\pmb{e}_0)+a^1(\pmb{e}^0\otimes\pmb{e}_1)\right)\pmb{e}_0+\left(a^0(\pmb{e}^1\otimes\pmb{e}_0)+a^1(\pmb{e}^1\otimes\pmb{e}_1)\right)\pmb{e}_1

tensorの成分表示を使って見やすくするか。

$ \mathcal{S}:=\{\pmb{e}_0,\pmb{e}_1\},\mathcal{T}:=\left\{\pmb{e}^0,\pmb{e}^1\right\}とする

$ \def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}[\pmb{a}]^\mathcal{S}= \mat{a^0\\a^1}

$ \def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}[\pmb{a}]^\mathcal{T}= \mat{a_0\\a_1}=\mat{a^0|\pmb{e}_0|^2+a^1\pmb{e}_0\cdot\pmb{e}_1\\a^1|\pmb{e}_1|^2+a^0\pmb{e}_0\cdot\pmb{e}_1}=\mat{\pmb{e}_0\cdot\pmb{e}_0&\pmb{e}_0\cdot\pmb{e}_1\\\pmb{e}_1\cdot\pmb{e}_0&\pmb{e}_1\cdot\pmb{e}_1}\mat{a^0\\a^1}=[I]^\mathcal{TS}[\pmb{a}]^\mathcal{S}

おそらく$ \def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}[I]^\mathcal{TS}=\mat{\pmb{e}_0\cdot\pmb{e}_0&\pmb{e}_0\cdot\pmb{e}_1\\\pmb{e}_1\cdot\pmb{e}_0&\pmb{e}_1\cdot\pmb{e}_1} が計量行列と言われる変換行列だと思われる

2022-02-22 23:42:55 狭義には共変計量行列と呼ぶ

2021-06-09 21:39:49 今日はここまでかなあtakker.icon

これ以上進めるには、まず座標変換行列とtensorとの関係について復習してからのほうがいい

/takker-memex/Continuum Mechanics (calc).pdf 5を読み直す

予想

$ \pmb{a}=a^0\pmb{e}_0+a^1\pmb{e}_1

$ \pmb{a}=a_0\pmb{e}^0+a_1\pmb{e}^1

$ \pmb{e}_i\cdot\pmb{e}^j=\llbracket i=j\rrbracket

これが成り立つなら、斜交座標系に正規直交基底の理屈を持ち込めそうなんだが……

そんなきれいにはまるものかなあ

でも$ \def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}|\pmb{a}|^2=\mat{a^0&a^1}\mat{a_0\\a_1}である以上、共変と反変学習log#60c9a0641280f000008826a7が成り立ちそうな気はするんだけどなあ

いや、これは成り立っている

from /takker-memex/反変基底テンソル談議.pdf 66

これが成り立つからこそ、斜交座標系を直交座標系と同様の形式で取り扱える

図解

共変基底

https://kakeru.app/fa1555727d2e7e4e25fb848b8e61d221 https://i.kakeru.app/fa1555727d2e7e4e25fb848b8e61d221.svg

共変基底と反変基底の関係

$ \pmb{e}_i\bot\pmb{e}^i

$ \left|\pmb{e}_i\right|\left|\pmb{e}^i\right|=1

https://kakeru.app/1905bdde33abd455860c567f35ba07f3 https://i.kakeru.app/1905bdde33abd455860c567f35ba07f3.svg

https://kakeru.app/3e916d82dad3449444ca04ada4af204e https://i.kakeru.app/3e916d82dad3449444ca04ada4af204e.svg

この関係を満たす反変基底$ \pmb{e}^iを作るには、

1. $ \frac14\pi回転して

$ \pmb{e}_1\times(\pmb{e}_0\times\pmb{e}_1)

2. 大きさを$ |\pmb{e}_i|^{-1}にすればいい

……この定義、4次元以上の空間だと使えないよな。どうすれば良いんだろう……？

色分けして一旦整理

$ \def\g#1{\textcolor{lightgreen}{#1}}\def\r#1{\textcolor{orange}{#1}} \pmb{a}=\g{a^0}\r{\pmb{e}_0}+\g{a^1}\r{\pmb{e}_1}

$ \def\r#1{\textcolor{orange}{#1}}\r{\mathcal{S}}:=\{\r{\pmb{e}_0},\r{\pmb{e}_1}\}は任意の基底

これを共変基底とする

$ \def\g#1{\textcolor{lightgreen}{#1}}\def\r#1{\textcolor{orange}{#1}} \r{a_i}:=\pmb{a}\cdot\r{\pmb{e}_i}=\g{a^0}\r{\pmb{e}_0}\cdot\r{\pmb{e}_i}+\g{a^1}\r{\pmb{e}_1}\cdot\r{\pmb{e}_i}

$ \def\g#1{\textcolor{lightgreen}{#1}}\def\r#1{\textcolor{orange}{#1}} \pmb{a}=\r{a_0}\g{\pmb{e}^0}+\r{a_1}\g{\pmb{e}^1}

これを満たす$ \def\g#1{\textcolor{lightgreen}{#1}}\g{\mathcal{T}}:=\left\{\g{\pmb{e}^0},\g{\pmb{e}^1}\right\}を反変基底とする

反変基底は共変基底から一意に定まるはず(この段階ではまだ分からない)

$ \def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}\def\g#1{\textcolor{lightgreen}{#1}}\def\r#1{\textcolor{orange}{#1}}\mat{\r{a_0}\\\r{a_1}}=\mat{\r{\pmb{e}_0}\cdot\r{\pmb{e}_0}&\r{\pmb{e}_0}\cdot\r{\pmb{e}_1}\\\r{\pmb{e}_1}\cdot\r{\pmb{e}_0}&\r{\pmb{e}_1}\cdot\r{\pmb{e}_1}}\mat{\g{a^0}\\\g{a^1}}

$ \def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}\def\g#1{\textcolor{lightgreen}{#1}}\def\r#1{\textcolor{orange}{#1}}[\pmb{a}]^\mathcal{\r{S}}= \mat{\g{a^0}\\\g{a^1}}

$ \pmb{a}の共変成分表示

$ \def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}\def\g#1{\textcolor{lightgreen}{#1}}\def\r#1{\textcolor{orange}{#1}}[\pmb{a}]^\mathcal{\g{T}}= \mat{\r{a_0}\\\r{a_1}}

$ \pmb{a}の反変成分表示

$ \def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}\def\g#1{\textcolor{lightgreen}{#1}}\def\r#1{\textcolor{orange}{#1}}[\pmb{I}]^\mathcal{\g{T}\r{S}}=\mat{\r{\pmb{e}_0}\cdot\r{\pmb{e}_0}&\r{\pmb{e}_0}\cdot\r{\pmb{e}_1}\\\r{\pmb{e}_1}\cdot\r{\pmb{e}_0}&\r{\pmb{e}_1}\cdot\r{\pmb{e}_1}}

共変計量行列

$ \def\g#1{\textcolor{lightgreen}{#1}}\def\r#1{\textcolor{orange}{#1}} [\pmb{a}]^\g{\mathcal{T}}=[\pmb{I}]^{\g{\mathcal{T}}\r{\mathcal{S}}}[\pmb{a}]^\r{\mathcal{S}}

共変基底を反変基底に変換するtensorを探す

$ \def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}\mat{\pmb{e}^0\\\pmb{e}^1}=[\pmb{A}]\mat{\pmb{e}_0\\\pmb{e}_1} を満たす$ \pmb{A}を求めればいい

$ \def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}\def\g#1{\textcolor{lightgreen}{#1}}\def\r#1{\textcolor{orange}{#1}}\mat{\g{\pmb{e}^0}\\\g{\pmb{e}^1}}=[\pmb{A}]\mat{\r{\pmb{e}_0}\\\r{\pmb{e}_1}}\implies\pmb{a}=\r{a_0}\g{\pmb{e}^0}+\r{a_1}\g{\pmb{e}^1}=\mat{\r{a_0}\\\r{a_1}}^\top[\pmb{A}]\mat{\r{\pmb{e}_0}\\\r{\pmb{e}_1}}

$ \iff\def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}\def\g#1{\textcolor{lightgreen}{#1}}\def\r#1{\textcolor{orange}{#1}} \mat{\g{a^0}\\\g{a^1}}^\top\mat{\r{\pmb{e}_0}\\\r{\pmb{e}_1}}=\mat{\r{a_0}\\\r{a_1}}^\top[\pmb{A}]\mat{\r{\pmb{e}_0}\\\r{\pmb{e}_1}}

$ \def\g#1{\textcolor{lightgreen}{#1}}\def\r#1{\textcolor{orange}{#1}} \pmb{a}=\g{a^0}\r{\pmb{e}_0}+\g{a^1}\r{\pmb{e}_1}と組んだ

$ \iff\def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}\def\g#1{\textcolor{lightgreen}{#1}}\def\r#1{\textcolor{orange}{#1}} \mat{\r{\pmb{e}_0}\\\r{\pmb{e}_1}}^\top\mat{\g{a^0}\\\g{a^1}}=\mat{\r{\pmb{e}_0}\\\r{\pmb{e}_1}}^\top[\pmb{A}]^\top\mat{\r{a_0}\\\r{a_1}}

転値させた

ここから$ \def\r#1{\textcolor{orange}{#1}}\r{\mathcal{S}}:=\{\r{\pmb{e}_0},\r{\pmb{e}_1}\}の線型独立性を用いてばらす

$ \iff\def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}\def\g#1{\textcolor{lightgreen}{#1}}\def\r#1{\textcolor{orange}{#1}} \mat{\g{a^0}\\\g{a^1}}=[\pmb{A}]^\top\mat{\r{a_0}\\\r{a_1}}

$ \iff\def\g#1{\textcolor{lightgreen}{#1}}\def\r#1{\textcolor{orange}{#1}} [\pmb{a}]^\r{\mathcal{S}}=[\pmb{A}]^\top[\pmb{a}]^\g{\mathcal{T}}

$ \def\g#1{\textcolor{lightgreen}{#1}}\def\r#1{\textcolor{orange}{#1}} =[\pmb{A}]^\top[\pmb{I}]^{\g{\mathcal{T}}\r{\mathcal{S}}}[\pmb{a}]^\r{\mathcal{S}}

$ \because共変と反変学習log#6214f34c1280f00000f07bda

$ \def\g#1{\textcolor{lightgreen}{#1}}\def\r#1{\textcolor{orange}{#1}} \implies[\pmb{A}]^\top=\left([\pmb{I}]^{\g{\mathcal{T}}\r{\mathcal{S}}}\right)^{-1}

ここから$ \def\g#1{\textcolor{lightgreen}{#1}}\def\r#1{\textcolor{orange}{#1}} [\pmb{a}]^\r{\mathcal{S}}=\left([\pmb{I}]^{\g{\mathcal{T}}\r{\mathcal{S}}}\right)^{-1}[\pmb{a}]^\g{\mathcal{T}} がわかる

この行列を反変計量行列と呼ぶ

丁度共変計量行列の逆行列となっている

また$ [\pmb{a}]^\mathcal{S}=[\pmb{I}]^\mathcal{ST}[\pmb{a}]^\mathcal{T} より$ [\pmb{I}]^\mathcal{ST}=\left([\pmb{I}]^\mathcal{TS}\right)^{-1} だということもわかる

$ \def\g#1{\textcolor{lightgreen}{#1}}\def\r#1{\textcolor{orange}{#1}} \therefore[\pmb{A}]=\left(\left([\pmb{I}]^{\g{\mathcal{T}}\r{\mathcal{S}}}\right)^{-1}\right)^\top

計量行列は対称行列なので、共変vectorの組に反変計量行列を掛けると反変vectorの組になることがわかった

ところで対称行列の逆行列は常に対称行列なのだろうか？takker.icon

簡単な計算で確かめられそうではある

直交性はどうやって示す？

n=2の場合

https://i.kakeru.app/c17a36ea5a4de42d561dcb0a058b1b28.svg https://dev.kakeru.app/c17a36ea5a4de42d561dcb0a058b1b28

共変基底vectorと反変基底vectorとのscaler積を並べた行列が単位行列になればいい

……よくよく形を見たら、これすぐに証明できるじゃん！

長さの積の性質を示すのに手こずっている

https://i.kakeru.app/50a999ec8fb7ce390546b820def9a0c8.svg https://dev.kakeru.app/50a999ec8fb7ce390546b820def9a0c8

References

テンソル談議