Mohr円導出で使った2次元対称tensorの分解
$ \def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}[T]=t_-\mat{1&0\\0&-1}+t_+\mat{1&0\\0&1}+\tau\mat{0&1\\1&0}
$ [T] は対称行列だとする
各基底の性質
$ \def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}[J]:=\mat{1&0\\0&-1},[I]:=\mat{1&0\\0&1}, [D]:=\mat{0&1\\1&0} のとき
$ \forall A;[A][I]=[I][A]=[A]
$ [J][J]=[I]
$ [D][D]=[I]
$ [J]^\top =[J]
$ [D]^\top =[D]
以上より、$ [I], [J] ,[D] はいずれも直交対称行列である 基底$ \mathsf{E}:=\{\pmb{e}_0,\pmb{e}_1\}を用いて、tensorで考えてみる
$ \pmb{J}:=\pmb{e}_0\pmb{e}_0-\pmb{e}_1\pmb{e}_1
$ \pmb{D}:=\pmb{e}_0\pmb{e}_1+\pmb{e}_1\pmb{e}_0
$ \pmb{J}\cdot\pmb{J}=\pmb{I}
$ \pmb{D}\cdot\pmb{D}=\pmb{I}
$ \pmb{J}^\top=\pmb{J}
$ \pmb{D}^\top=\pmb{D}
2重縮合を調べる
trace
$ \pmb{J}:\pmb{I}=\mathrm{tr}\pmb{J}=0
$ \pmb{D}:\pmb{I}=\mathrm{tr}\pmb{D}=0
偏差成分を構成していたtensorなので、当然traceは0にある
$ \pmb{J}:\pmb{J}=1+1=2
$ \pmb{J}:\pmb{D}=0
$ \pmb{D}:\pmb{D}=2
$ \pmb{J}と$ \pmb{D}が$ :に関して直交する
2重縮合をつかうと、2階tensorの不変量を取り出せる