Mohr円と2階tensorの不変量との対応

Mohr円は、当然だがどの座標系からみた2階tensor成分から計算しても、同じ円を描く

これは、Mohr円が本質的に2階tensorの不変量で構成されることを意味する

実際に、Mohr円の各パラメタは不変量で表現する事ができる

描画対象の2次元2階tensorを$ \pmb{T}としたとき

Mohr円の$ \sigma軸上の位置$ =\frac12\mathrm{tr}\pmb{T}=\frac12I_1

$ I_1^{\bm T}：第1不変量

等方成分とも呼べる

応力の場合は等方応力、平均応力とも呼ぶ

Mohr円の半径：$ =\sqrt{-\det{\cal\pmb{D}}:\pmb{T}}=\sqrt{-J_2^{\bm T}}

$ {\cal\pmb D}：偏差写像tensorで、$ {\cal\pmb{D}}:\pmb{T}=\pmb{T}-\frac12\mathrm{tr}(\pmb{T})\pmb{I}が成り立つ

上記は2次元のMohr円でしか通用しない点に注意

2次元だと$ \pmb{T}:\pmb{T}に対応する量が現れないようだtakker.icon

3次元なら出てくるだろうか？