2次元Cauchy応力tensorの座標変換からMohrの応力円を導出する：複素数ver.

立式

$ \def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}[\pmb{I}]^\mathsf{RE}=\mat{\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta}

$ [\pmb{\sigma}]^\mathsf{RR}=[\pmb{I}]^\mathsf{RE}[\pmb{\sigma}]^\mathsf{EE}[\pmb{I}]^\mathsf{ER}

複素数への変換

$ [\pmb{\sigma}]^\mathsf{EE}=\begin{pmatrix}\sigma_{00}&\sigma_{01}\\\sigma_{01}&\sigma_{11}\end{pmatrix}

$ \sigma_0:=\sigma_{00}+i\sigma_{01}

$ \sigma_1:=\sigma_{01}+i\sigma_{11}

行列計算とは、以下のように対応する

$ \begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sigma_{00}\\\sigma_{01}\end{pmatrix}\longleftrightarrow e^{-i\theta}\sigma_0

$ \begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sigma_{01}\\\sigma_{11}\end{pmatrix}\longleftrightarrow e^{-i\theta}\sigma_1

回転行列を右からかける計算は、転置を使って複素数に落とし込む

$ \begin{pmatrix}\sigma_{00}&\sigma_{01}\\\sigma_{01}&\sigma_{11}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}=\left(\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sigma_{00}&\sigma_{01}\\\sigma_{01}&\sigma_{11}\end{pmatrix}\right)^\top

$ \begin{pmatrix}\Re(z)+i\Re(w)&\Im(z)+i\Im(w)\end{pmatrix}

$ \begin{pmatrix}e^{-i\theta}\Re(e^{-i\theta}\sigma_0)+ie^{-i\theta}\Re(e^{-i\theta}\sigma_1)&e^{-i\theta}\Im(e^{-i\theta}\sigma_0)+ie^{-i\theta}\Im(e^{-i\theta}\sigma_1)\end{pmatrix}

あとはこれを計算するだけ

計算

1個目

$ e^{-i\theta}\Re(e^{-i\theta}\sigma_0)+ie^{-i\theta}\Re(e^{-i\theta}\sigma_1)

$ =\frac12\left(e^{-2i\theta}\sigma_0+\sigma_0^*+ie^{-2i\theta}\sigma_1+i\sigma_1^*\right)

$ =\frac12e^{-2i\theta}\left(\sigma_0+i\sigma_1\right)+\frac12\left(\sigma_0^*+i\sigma_1^*\right)

ここで、

$ \frac12(\sigma_0+i\sigma_1)=\frac12(\sigma_{00}-\sigma_{11})+i\sigma_{01}=:\sigma_-+i\sigma_{01}

$ \frac12(\sigma_0^*+i\sigma_1^*)=\frac12(\sigma_{00}+\sigma_{11})=:\sigma_+

より、

$ e^{-i\theta}\Re(e^{-i\theta}\sigma_0)+ie^{-i\theta}\Re(e^{-i\theta}\sigma_1)=e^{-2i\theta}(\sigma_-+i\sigma_{01})+\sigma_+

2個目

$ e^{-i\theta}\Im(e^{-i\theta}\sigma_0)+ie^{-i\theta}\Im(e^{-i\theta}\sigma_1)

$ =-\frac12i(e^{-2i\theta}\sigma_0-\sigma_0^*+ie^{-2i\theta}\sigma_1-i\sigma_1^*)

$ =-\frac12ie^{-2i\theta}(\sigma_0+i\sigma_1)+\frac12i(\sigma_0^*+i\sigma_1^*)

$ =-ie^{-2i\theta}(\sigma_-+i\sigma_{01})+i\sigma_+

行列による展開に比べて、置き換え箇所がわかりやすい

$ \underline{\therefore[\pmb{\sigma}]^\mathsf{RR} =A\begin{pmatrix}\cos(\phi-2\theta)&\sin(\phi-2\theta)\\\sin(\phi-2\theta)&-\cos(\phi-2\theta)\end{pmatrix}+\sigma_+[\pmb{I}]^\mathsf{RR}\quad}_\blacksquare

補足：この行列の意味

$ \begin{pmatrix}\cos(\phi-2\theta)&\sin(\phi-2\theta)\\\sin(\phi-2\theta)&-\cos(\phi-2\theta)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sin(\phi-2\theta)&-\cos(\phi-2\theta)\\\cos(\phi-2\theta)&\sin(\phi-2\theta)\end{pmatrix}

$ =\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos(\phi-2\theta-\frac12\pi)&\sin(\phi-2\theta-\frac12\pi)\\-\sin(\phi-2\theta-\frac12\pi)&\cos(\phi-2\theta-\frac12\pi)\end{pmatrix}

$ =\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos(2\theta-\phi+\frac12\pi)&-\sin(2\theta-\phi+\frac12\pi)\\\sin(2\theta-\phi+\frac12\pi)&\cos(2\theta-\phi+\frac12\pi)\end{pmatrix}

$ =\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos(2\theta-\phi)&-\sin(2\theta-\phi)\\\sin(2\theta-\phi)&\cos(2\theta-\phi)\end{pmatrix}

$ =\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos(2\theta-\phi)&-\sin(2\theta-\phi)\\\sin(2\theta-\phi)&\cos(2\theta-\phi)\end{pmatrix}