2次元Cauchy応力tensorの座標変換からMohrの応力円を導出する

正規直交基底$ \mathsf{E}:=(\pmb{e}_0,\pmb{e}_1)で成分表示された平面でのCauchy応力tensor$ \pmb{\sigma}:=\sigma_{00}\pmb{e}_0\otimes\pmb{e}_0+2\sigma_{00}\pmb{e}_0\otimes\pmb{e}_1+\sigma_{11}\pmb{e}_1\otimes\pmb{e}_1

を、$ \thetaだけ回転した正規直交基底$ \mathsf{R}(\theta):=(\pmb{r}_0(\theta),\pmb{r}_1(\theta))へ変換する

$ 2\sigma_{00}\pmb{e}_0\otimes\pmb{e}_1と対角成分をまとめているのは、応力tensorが対称tensorだから

基底変換式は以下の通り

$ \def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}\mat{\pmb{r}_0&\pmb{r}_1}=\mat{\pmb{e}_0&\pmb{e}_1}\mat{\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta}

$ \pmb{e}_iをそれぞれ反時計回りに$ \theta回転させたのが$ \pmb{r}_iとなっている

回転させただけなので、当然$ \mathsf{R}(\theta)も正規直交基底である

任意の基底によるtensorの座標変換より

$ \def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}[\pmb{I}]^\mathsf{RE}=\mat{\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta}^{-1}= \mat{\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta}^\top=\mat{\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta}

$ \therefore[\pmb{\sigma}]^\mathsf{RR}=[\pmb{I}]^\mathsf{RE}[\pmb{\sigma}]^\mathsf{EE}[\pmb{I}]^\mathsf{ER} ―①

$ \sf E,Rはともに正規直交基底なので、$ \sf \bar{E}=E\land\bar{R}=Rである。これを用いて双対記号$ \bar{\bullet}を消した

①に$ [\pmb{\sigma}]^\mathsf{EE}=\begin{pmatrix}\sigma_{00}&\sigma_{01}\\\sigma_{01}&\sigma_{11}\end{pmatrix} を代入して具体的に計算する

$ \def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}[\pmb{\sigma}]^\mathsf{RR}=\mat{\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta}\mat{\sigma_{00}&\sigma_{01}\\\sigma_{01}&\sigma_{11}}\mat{\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta}

$ \def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}=\mat{\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta}\mat{\sigma_{00}\cos\theta+\sigma_{01}\sin\theta&-\sigma_{00}\sin\theta+\sigma_{01}\cos\theta\\\sigma_{01}\cos\theta+\sigma_{11}\sin\theta&-\sigma_{01}\sin\theta+\sigma_{11}\cos\theta}

$ =\begin{pmatrix}\sigma_{00}\cos\theta\cos\theta+\sigma_{01}\cos\theta\sin\theta+\sigma_{01}\cos\theta\sin\theta+\sigma_{11}\sin\theta\sin\theta&-\sigma_{00}\cos\theta\sin\theta+\sigma_{01}\cos\theta\cos\theta-\sigma_{01}\sin\theta\sin\theta+\sigma_{11}\cos\theta\sin\theta\\-\sigma_{00}\cos\theta\sin\theta-\sigma_{01}\sin\theta\sin\theta+\sigma_{01}\cos\theta\cos\theta+\sigma_{11}\cos\theta\sin\theta&\sigma_{00}\sin\theta\sin\theta-\sigma_{01}\sin\theta\cos\theta-\sigma_{01}\cos\theta\sin\theta+\sigma_{11}\cos\theta\cos\theta\end{pmatrix}

$ =\begin{pmatrix}\sigma_{00}\cos\theta\cos\theta+2\sigma_{01}\cos\theta\sin\theta+\sigma_{11}\sin\theta\sin\theta&(\sigma_{11}-\sigma_{00})\cos\theta\sin\theta+\sigma_{01}(\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta)\\(\sigma_{11}-\sigma_{00})\cos\theta\sin\theta+\sigma_{01}(\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta)&\sigma_{00}\sin\theta\sin\theta-2\sigma_{01}\cos\theta\sin\theta+\sigma_{11}\cos\theta\cos\theta\end{pmatrix}

$ =\begin{pmatrix}\sigma_{00}\cos\theta\cos\theta+\sigma_{01}\sin2\theta+\sigma_{11}\sin\theta\sin\theta&\frac12(\sigma_{11}-\sigma_{00})\sin2\theta+\sigma_{01}\cos2\theta\\\frac12(\sigma_{11}-\sigma_{00})\sin2\theta++\sigma_{01}\cos2\theta&\sigma_{00}\sin\theta\sin\theta-\sigma_{01}\sin2\theta+\sigma_{11}\cos\theta\cos\theta\end{pmatrix}

共通項をくくって倍角にした

$ =\begin{pmatrix}\sigma_{00}\frac12(1+\cos2\theta)+\sigma_{01}\sin2\theta+\sigma_{11}\frac12(1-\cos2\theta)&\frac12(\sigma_{11}-\sigma_{00})\sin2\theta+\sigma_{01}\cos2\theta\\\frac12(\sigma_{11}-\sigma_{00})\sin2\theta+\sigma_{01}\cos2\theta&\sigma_{00}\frac12(1-\cos2\theta)-\sigma_{01}\sin2\theta+\sigma_{11}\frac12(1+\cos2\theta)\end{pmatrix}

2乗の項を倍角にした

$ =\begin{pmatrix}\frac12(\sigma_{00}+\sigma_{11})+\frac12(\sigma_{00}-\sigma_{11})\cos2\theta+\sigma_{01}\sin2\theta&-\frac12(\sigma_{00}-\sigma_{11})\sin2\theta+\sigma_{01}\cos2\theta\\-\frac12(\sigma_{00}-\sigma_{11})\sin2\theta+\sigma_{01}\cos2\theta&\frac12(\sigma_{00}+\sigma_{11})-\frac12(\sigma_{00}-\sigma_{11})\cos2\theta-\sigma_{01}\sin2\theta\end{pmatrix}

$ \frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sigma_{00}\\\sigma_{11}\end{pmatrix}を使って整理した

$ \def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}=\frac12(\sigma_{00}+\sigma_{11})[\pmb{I}]^\mathsf{EE}+\mat{\cos2\theta&\sin2\theta\\-\sin2\theta&\cos2\theta}\mat{\frac12(\sigma_{00}-\sigma_{11})&\sigma_{01}\\\sigma_{01}&-\frac12(\sigma_{00}-\sigma_{11})}

$ [\pmb{I}]^\mathsf{EE} は単位行列

$ \def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}=\frac12(\sigma_{00}+\sigma_{11})[\pmb{I}]^\mathsf{EE}+{[\pmb{I}]^\mathsf{RE}}^2\mat{\frac12(\sigma_{00}-\sigma_{11})&\sigma_{01}\\\sigma_{01}&-\frac12(\sigma_{00}-\sigma_{11})}

ここからさらに変換$ \begin{dcases}A\cos\phi&=\frac12(\sigma_{00}-\sigma_{11})\\A\sin\phi&=\sigma_{01}\end{dcases}を施す

$ \def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}=\frac12(\sigma_{00}+\sigma_{11})[\pmb{I}]^\mathsf{EE}+A{[\pmb{I}]^\mathsf{RE}}^2\mat{\cos\phi&\sin\phi\\\sin\phi&-\cos\phi}

$ \def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}=\frac12(\sigma_{00}+\sigma_{11})[\pmb{I}]^\mathsf{EE}+A\mat{\cos(\phi-2\theta)&\sin(\phi-2\theta)\\\sin(\phi-2\theta)&-\cos(\phi-2\theta)}

以上より、$ [\pmb{\sigma}]^\mathsf{RR} は以下のようになる

$ \def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}\underline{[\pmb{\sigma}]^\mathsf{RR}=\frac12(\sigma_{00}+\sigma_{11})[\pmb{I}]^\mathsf{EE}+A\mat{\cos(\phi-2\theta)&\sin(\phi-2\theta)\\\sin(\phi-2\theta)&-\cos(\phi-2\theta)}\quad}_\blacksquare

Mohrの応力円は、$ \sf R における垂直応力$ [\pmb{\sigma}]^\mathsf{RR}_{00} と剪断応力$ [\pmb{\sigma}]^\mathsf{RR}_{01} を用いて、半径$ A、中心$ \frac12(\sigma_{00}+\sigma_{11}) の円としてplotされる

TODO:円を書く

Mohrの応力円を用いると、主応力表示となる基底vector(固有vectorに相当)の角度や最大剪断応力を示す基底vectorの角度を簡単に求める事ができる

ここまでの議論で、$ \pmb{\sigma}特有の性質は対称tensorであること以外何も用いていない

つまり、Mohrの応力円に至るまでの全ての議論は、任意の2次元対称tensorに当てはめられるということである

#2022-06-10 14:43:27