SMP条件 - くたくたじゅうよん

SMP条件

別名松岡・中井の条件

Mohr-Coulombの破壊規準を力学的に意味のある形で3次元に拡張したもの

Trescaの降伏条件とvon Misesの降伏条件の関係は、Mohr-Coulombの破壊規準とSMP条件との関係と等しい

SMPは空間滑動面(Spatial Mobilized Plane)のこと

松岡元が提案した

表現その1

$ \frac{\tau_{\rm SMP}}{\sigma_{\rm SMP}}=\tan\phi_0ー①

空間滑動面上の点$ \bm x=(x,y,z)が満たす方程式は

$ \frac x{\sqrt{\sigma_1}}+\frac y{\sqrt{\sigma_2}}+\frac z{\sqrt{\sigma_3}}=1

$ \bm l=\left(\frac1{\sqrt{\sigma_1}},\frac1{\sqrt{\sigma_2}},\frac1{\sqrt{\sigma_3}}\right)として$ \bm x\cdot\bm l=1

$ \implies (\bm x-|\bm l|^{-2}\bm l)\cdot\bm l=0

つまり、$ \hat\bm lが空間滑動面の法線vectorになる

$ |\bm l|=\sqrt{\frac1{\sigma_1}+\frac1{\sigma_2}+\frac1{\sigma_3}}

$ = \sqrt\frac{\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1+\sigma_1\sigma_2}{\sigma_1\sigma_2\sigma_3}

$ = \sqrt\frac{I_2^\bm\sigma}{I_0^\bm\sigma}

$ I_0^\bm\sigma=\det\bm\sigma

$ I_2^\bm\sigma：$ \sigmaの第2不変量

($ \bm x,\bm lの基底は$ \bm\sigmaの固有基底とした)

空間滑動面上の表面力vector$ \sigma_{\rm SMP},\tau_{\rm SMP}を求める

2階tensorから任意方向成分を取り出すより

$ \sigma_{\rm SMP}=\hat\bm l\cdot\bm\sigma\cdot\hat\bm l=3\frac{I_0^\bm\sigma}{I_2^\bm\sigma}

$ {\tau_{\rm SMP}}^2=\left(\frac{I_0^\bm\sigma}{I_2^\bm\sigma}\right)^2\left(\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(\sigma_2-\sigma_3)^2}{\sigma_2\sigma_3}+\frac{(\sigma_3-\sigma_1)^2}{\sigma_3\sigma_1}\right)

以上を①に代入して、↓を得る

$ \frac13\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(\sigma_2-\sigma_3)^2}{\sigma_2\sigma_3}+\frac{(\sigma_3-\sigma_1)^2}{\sigma_3\sigma_1}}=\tan\phi_0ー☆

主不変量だけでも表示できる

$ \iff\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(\sigma_2-\sigma_3)^2}{\sigma_2\sigma_3}+\frac{(\sigma_3-\sigma_1)^2}{\sigma_3\sigma_1}}=3\tan\phi_0

$ \iff\sqrt{\sigma_1\sigma_2{\sigma_3}^2(\sigma_1-\sigma_2)^2+\sigma_2\sigma_3{\sigma_1}^2(\sigma_2-\sigma_3)^2+\sigma_3\sigma_1{\sigma_2}^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}=3|I_0^\bm\sigma|\tan\phi_0

$ \iff\sqrt{\sigma_3(\sigma_1-\sigma_2)^2+\sigma_1(\sigma_2-\sigma_3)^2+\sigma_2(\sigma_3-\sigma_1)^2}=3\sqrt{I_0^\bm\sigma}\tan\phi_0

$ \iff\sigma_3(\sigma_1-\sigma_2)^2+\sigma_1(\sigma_2-\sigma_3)^2+\sigma_2(\sigma_3-\sigma_1)^2=9I_0^\bm\sigma(\tan\phi_0)^2

$ \iff\sigma_1(\sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1)+\sigma_2(\sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1)+\sigma_3(\sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1)-9\sigma_1\sigma_2\sigma_3=9I_0^\bm\sigma(\tan\phi_0)^2

$ \iff I_1^\bm\sigma I_2^\bm\sigma-9I_0^\bm\sigma=9I_0^\bm\sigma(\tan\phi_0)^2

$ \iff I_1^\bm\sigma I_2^\bm\sigma=\frac{9I_0^\bm\sigma}{(\cos\phi_0)^2}

$ \iff\sqrt\frac{3I_0^\bm\sigma}{\sigma_mI_2^\bm\sigma}=\cos\phi_0ー◯

$ \tan\phi_0\ge0なので、$ |\cos\phi_0|=\cos\phi_0としていい

$ \sigma_m:=\frac13I_1^\bm\sigma

等方応力

右辺の定数を$ \tan\phi_0=\frac{2\sqrt2}{3}\tan\phiと変えると、軸対称応力条件のとき内部摩擦角が$ \phiのMohr-Coulombの破壊規準と一致するようにできる

$ \sigma_2=\sigma_3のとき

$ \implies ☆\sqrt{2\frac{(\sigma_1-\sigma_3)^2}{\sigma_1\sigma_3}}=2\sqrt2\tan\phi

$ \implies \frac{(\sigma_1-\sigma_3)^2}{4\sigma_1\sigma_3}=(\tan\phi)^2=\frac1{(\cos\phi)^2}-1

$ \iff \frac{q^2}{p^2-q^2}=\frac1{(\cos\phi)^2}-1

$ p:=\frac12(\sigma_1+\sigma_3)

$ q:=\sqrt{-3J^\bm\sigma_2}=\frac1{\sqrt2}\sqrt{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}\underset{\stackrel{\uparrow}{\sigma_2=\sigma_3}}{=}|\sigma_1-\sigma_3|

軸差応力

$ \iff (q\cos\phi)^2=(1-(\cos\phi)^2)(p^2-q^2)

$ \iff (q\cos\phi)^2=(\sin\phi)^2(p^2-q^2)

$ \iff q^2=(p\sin\phi)^2

$ \iff q=p\sin\phi

応力が負になる場合は考慮しなかった

これは、粘着力$ c=0のときのMohr-Coulombの破壊規準と等しい

Mohr-Coulombの破壊規準$ \frac qp=\sin\phiと比較するために、◯を$ =\sin\phi_0の形に書き直す

$ ◯\iff1-\frac{9I_0^\bm\sigma}{I_1^\bm\sigma I_2^\bm\sigma}=(\sin\phi_0)^2

$ \iff\frac{I_1^\bm\sigma I_2^\bm\sigma-9I_0^\bm\sigma}{I_1^\bm\sigma I_2^\bm\sigma}=(\sin\phi_0)^2

あんまり興味深い関係はでてこないか

第3不変量を第1不変量と第2不変量で表すを使う

$ \iff\frac{I_1^\bm\sigma I_2^\bm\sigma-9I_1^\bm\sigma I_2^\bm\sigma+3(\left(I_1^\bm\sigma\right)^3-I^{\bm\sigma^3}_1)}{I_1^\bm\sigma I_2^\bm\sigma}=(\sin\phi_0)^2

$ \iff-8+\frac{3(\left(I_1^\bm\sigma\right)^2-I^{\bm\sigma^3}_1/{I_1^\bm\sigma})}{I_2^\bm\sigma}=(\sin\phi_0)^2

うーん、ほとんどわからないな

剪断に関わる第2不変量が分母にきてしまう

いや、偏差第2不変量ではないから、これだけだとわからないか

$ J_2^\bm\sigma=I_2^\bm\sigma-\frac13\left(I_1^\bm\sigma\right)^2

$ \iff1-\frac{9I_0^\bm\sigma}{I_1^\bm\sigma J_2^\bm\sigma+\frac13\left(I_1^\bm\sigma\right)^3}=(\sin\phi_0)^2

$ I_0^\bm\sigma=I_1^\bm\sigma\left(J_2^\bm\sigma+\frac13\left(I_1^\bm\sigma\right)^2\right)-\frac13\left(\left(I_1^\bm\sigma\right)^3-I^{\bm\sigma^3}_1\right)

$ = I_1^\bm\sigma J_2^\bm\sigma+\frac13I^{\bm\sigma^3}_1

References

『連続体の力学序説』 p. 68-70

#2024-07-31 17:53:21