SMP条件
別名松岡・中井の条件
Mohr-Coulombの破壊規準を力学的に意味のある形で3次元に拡張したもの
Trescaの降伏条件とvon Misesの降伏条件の関係は、Mohr-Coulombの破壊規準とSMP条件との関係と等しい
SMPは空間滑動面(Spatial Mobilized Plane)のこと
松岡元が提案した
表現その1
$ \frac{\tau_{\rm SMP}}{\sigma_{\rm SMP}}=\tan\phi_0ー①
空間滑動面上の点$ \bm x=(x,y,z)が満たす方程式は
$ \frac x{\sqrt{\sigma_1}}+\frac y{\sqrt{\sigma_2}}+\frac z{\sqrt{\sigma_3}}=1
$ \bm l=\left(\frac1{\sqrt{\sigma_1}},\frac1{\sqrt{\sigma_2}},\frac1{\sqrt{\sigma_3}}\right)として$ \bm x\cdot\bm l=1
$ \implies (\bm x-|\bm l|^{-2}\bm l)\cdot\bm l=0
つまり、$ \hat{\bm l}が空間滑動面の法線vectorになる
$ |\bm l|=\sqrt{\frac1{\sigma_1}+\frac1{\sigma_2}+\frac1{\sigma_3}}
$ = \sqrt\frac{\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1+\sigma_1\sigma_2}{\sigma_1\sigma_2\sigma_3}
$ = \sqrt\frac{I_2^{\bm\sigma}}{I_3^{\bm\sigma}}
$ I_3^{\bm\sigma}:$ \bm\sigmaの第3不変量
$ I_2^{\bm\sigma}:$ \sigmaの第2不変量
($ \bm x,\bm lの基底は$ \bm\sigmaの固有基底とした)
空間滑動面上の表面力vector$ \sigma_{\rm SMP},\tau_{\rm SMP}を求める
2階tensorから任意方向成分を取り出すより
$ \sigma_{\rm SMP}=\hat{\bm l}\cdot\bm\sigma\cdot\hat{\bm l}=3\frac{I_0^{\bm\sigma}}{I_2^{\bm\sigma}}
$ {\tau_{\rm SMP}}^2=\left(\frac{I_3^{\bm\sigma}}{I_2^{\bm\sigma}}\right)^2\left(\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(\sigma_2-\sigma_3)^2}{\sigma_2\sigma_3}+\frac{(\sigma_3-\sigma_1)^2}{\sigma_3\sigma_1}\right)
以上を①に代入して、↓を得る
$ \frac13\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(\sigma_2-\sigma_3)^2}{\sigma_2\sigma_3}+\frac{(\sigma_3-\sigma_1)^2}{\sigma_3\sigma_1}}=\tan\phi_0ー☆
主不変量だけでも表示できる
$ \iff\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(\sigma_2-\sigma_3)^2}{\sigma_2\sigma_3}+\frac{(\sigma_3-\sigma_1)^2}{\sigma_3\sigma_1}}=3\tan\phi_0
$ \iff\sqrt{\sigma_1\sigma_2{\sigma_3}^2(\sigma_1-\sigma_2)^2+\sigma_2\sigma_3{\sigma_1}^2(\sigma_2-\sigma_3)^2+\sigma_3\sigma_1{\sigma_2}^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}=3|I_3^{\bm\sigma}|\tan\phi_0
$ \iff\sqrt{\sigma_3(\sigma_1-\sigma_2)^2+\sigma_1(\sigma_2-\sigma_3)^2+\sigma_2(\sigma_3-\sigma_1)^2}=3\sqrt{I_3^{\bm\sigma}}\tan\phi_0
$ \iff\sigma_3(\sigma_1-\sigma_2)^2+\sigma_1(\sigma_2-\sigma_3)^2+\sigma_2(\sigma_3-\sigma_1)^2=9I_3^{\bm\sigma}(\tan\phi_0)^2
$ \iff\sigma_1(\sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1)+\sigma_2(\sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1)+\sigma_3(\sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1)-9\sigma_1\sigma_2\sigma_3=9I_3^{\bm\sigma}(\tan\phi_0)^2
$ \iff I_1^{\bm\sigma} I_2^{\bm\sigma}-9I_3^{\bm\sigma}=9I_3^{\bm\sigma}(\tan\phi_0)^2
$ \iff I_1^{\bm\sigma} I_2^{\bm\sigma}=\frac{9I_3^{\bm\sigma}}{(\cos\phi_0)^2}
$ \iff\sqrt\frac{3I_3^{\bm\sigma}}{\sigma_mI_2^{\bm\sigma}}=\cos\phi_0ー◯
$ \tan\phi_0\ge0なので、$ |\cos\phi_0|=\cos\phi_0としていい
$ \sigma_m:=\frac13I_1^{\bm\sigma}
等方応力
Lodeの角$ \cos3\theta_L= \frac12\frac{J_3^{\bm{\sigma}}}{\left(-\frac13J_2^{\bm{\sigma}}\right)^\frac32}と関連付けられないか?
$ I_3^{\bm \sigma}=J_3^{\bm \sigma}+\frac13I_1^{\bm \sigma}J_2^{\bm \sigma}+\frac1{27}\left(I_1^{\bm \sigma}\right)^3
$ I_2^{\bm \sigma}=J_2^{\bm \sigma}+\frac13\left(I_1^{\bm \sigma}\right)^2
$ \frac{9I_3^{\bm\sigma}}{I_1^{\bm\sigma}I_2^{\bm\sigma}}=\frac{9J_3^{\bm \sigma}+3I_1^{\bm \sigma}J_2^{\bm \sigma}+\frac13\left(I_1^{\bm \sigma}\right)^3}{I_1^{\bm\sigma}J_2^{\bm\sigma}+\frac13\left(I_1^{\bm\sigma}\right)^3}
$ =1+\frac{9J_3^{\bm \sigma}+2I_1^{\bm \sigma}J_2^{\bm \sigma}}{I_1^{\bm\sigma}J_2^{\bm\sigma}+\frac13\left(I_1^{\bm\sigma}\right)^3}
$ =1+\frac{-4(\cos3\theta_L)^2(J_2^{\bm{\sigma}})^3+2I_1^{\bm \sigma}J_2^{\bm \sigma}}{I_1^{\bm\sigma}J_2^{\bm\sigma}+\frac13\left(I_1^{\bm\sigma}\right)^3}
$ (\cos3\theta_L)^2=\frac14\frac{(J_3^{\bm{\sigma}})^2}{-\frac19(J_2^{\bm{\sigma}})^3}=-\frac94\frac{(J_3^{\bm{\sigma}})^2}{(J_2^{\bm{\sigma}})^3}
右辺の定数を$ \tan\phi_0=\frac{2\sqrt2}{3}\tan\phiと変えると、軸対称応力条件のとき内部摩擦角が$ \phiのMohr-Coulombの破壊規準と一致するようにできる
$ \sigma_2=\sigma_3のとき
$ \implies ☆\sqrt{2\frac{(\sigma_1-\sigma_3)^2}{\sigma_1\sigma_3}}=2\sqrt2\tan\phi
$ \implies \frac{(\sigma_1-\sigma_3)^2}{4\sigma_1\sigma_3}=(\tan\phi)^2=\frac1{(\cos\phi)^2}-1
$ \iff \frac{q^2}{p^2-q^2}=\frac1{(\cos\phi)^2}-1
$ p:=\frac12(\sigma_1+\sigma_3)
$ q:=\sqrt{-3J^{\bm\sigma}_2}=\frac1{\sqrt2}\sqrt{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}\underset{\stackrel{\uparrow}{\sigma_2=\sigma_3}}{=}|\sigma_1-\sigma_3|
軸差応力
$ \iff (q\cos\phi)^2=(1-(\cos\phi)^2)(p^2-q^2)
$ \iff (q\cos\phi)^2=(\sin\phi)^2(p^2-q^2)
$ \iff q^2=(p\sin\phi)^2
$ \iff q=p\sin\phi
応力が負になる場合は考慮しなかった
これは、粘着力$ c=0のときのMohr-Coulombの破壊規準と等しい
Mohr-Coulombの破壊規準$ \frac qp=\sin\phiと比較するために、◯を$ =\sin\phi_0の形に書き直す
$ ◯\iff1-\frac{9I_3^{\bm\sigma}}{I_1^{\bm\sigma} I_2^{\bm\sigma}}=(\sin\phi_0)^2
$ \iff\frac{I_1^{\bm\sigma} I_2^{\bm\sigma}-9I_3^{\bm\sigma}}{I_1^{\bm\sigma} I_2^{\bm\sigma}}=(\sin\phi_0)^2
あんまり興味深い関係はでてこないか
第3不変量を第1不変量と第2不変量で表すを使う
$ \iff\frac{I_1^{\bm\sigma} I_2^{\bm\sigma}-9I_1^{\bm\sigma} I_2^{\bm\sigma}+3(\left(I_1^{\bm\sigma}\right)^3-I^{\bm\sigma^3}_1)}{I_1^{\bm\sigma} I_2^{\bm\sigma}}=(\sin\phi_0)^2
$ \iff-8+\frac{3(\left(I_1^{\bm\sigma}\right)^2-I^{\bm\sigma^3}_1/{I_1^{\bm\sigma}})}{I_2^{\bm\sigma}}=(\sin\phi_0)^2
うーん、ほとんどわからないな
剪断に関わる第2不変量が分母にきてしまう
いや、偏差第2不変量ではないから、これだけだとわからないか
$ J_2^{\bm\sigma}=I_2^{\bm\sigma}-\frac13\left(I_1^{\bm\sigma}\right)^2
$ \iff1-\frac{9I_3^{\bm\sigma}}{I_1^{\bm\sigma} J_2^{\bm\sigma}+\frac13\left(I_1^{\bm\sigma}\right)^3}=(\sin\phi_0)^2
$ I_3^{\bm\sigma}=I_1^{\bm\sigma}\left(J_2^{\bm\sigma}+\frac13\left(I_1^{\bm\sigma}\right)^2\right)-\frac13\left(\left(I_1^{\bm\sigma}\right)^3-I^{\bm\sigma^3}_1\right)
$ = I_1^{\bm\sigma} J_2^{\bm\sigma}+\frac13I^{\bm\sigma^3}_1
References
『連続体の力学序説』 p. 68-70
#2025-06-11 12:51:18
#2024-07-31 17:53:21