Biotの圧密方程式
$ \bm\nabla^2\bm u+\frac{3K'+G'}{3G'}\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm u)+\frac1{G'}\bm\nabla u+\frac {\bm K}{G'}=\bm0
$ \frac{\partial\varepsilon_V}{\partial t}=\frac k{\gamma_w}\bm\nabla^2 u
$ \bm v=-\bm k\cdot\bm\nabla\frac u{\gamma_w}：Darcyの法則 $ \mathrm dv=J\mathrm dV：変形後の土要素の体積
$ \mathrm dV：初期配置の土要素の体積
$ \varepsilon_V=\frac{\mathrm dV-\mathrm dv}{\mathrm dV}=1-J：土全体の物質体積ひずみ 圧縮を正にとっている
$ \frac{\partial J}{\partial t}=(\bm\nabla\cdot\bm v)J：体積変化率の時間導函数 以上より
$ \frac{\partial\ln J}{\partial t}=\frac{\dot J}{J}=\bm\nabla\cdot\bm v=-\bm\nabla\cdot\left(\bm k\cdot\bm\nabla\frac u{\gamma_w}\right)
$ \ln J=\ln(1-\varepsilon_V)=-\varepsilon_V-\frac12\varepsilon_V^2+O(\varepsilon_V^3)\simeq-\varepsilon_Vを使って
$ \frac{\partial\varepsilon_V}{\partial t}\simeq\bm\nabla\cdot\left(\bm k\cdot\bm\nabla\frac u{\gamma_w}\right)
$ \frac{\partial\varepsilon_V}{\partial t}\simeq\bm k:\bm\nabla\bm\nabla\frac{u}{\gamma_w}
透水係数が等方的($ \bm k=k\bm I)なら
$ \underline{\therefore\frac{\partial\varepsilon_V}{\partial t}\simeq k\bm\nabla^2\frac{u}{\gamma_w}\quad}
$ \bm\nabla\cdot\bm\sigma+\bm K=\bm 0
$ \implies\bm\nabla\cdot\bm\sigma'+\bm\nabla u+\bm K=\bm 0
$ \underline{\implies\bm\nabla^2\bm u+\frac{3K'+G'}{3G'}\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm u)+\frac1{G'}\bm\nabla u+\frac {\bm K}{G'}=\bm0\quad}
2式から間隙水圧$ uを消去する
$ \bm\nabla^2u=-G'\bm\nabla\cdot\bm\nabla^2\bm u-\frac{3K'+G'}{3}\bm\nabla^2(\bm\nabla\cdot\bm u)-\bm\nabla\cdot\bm K
$ =-\frac{3K'+4G'}{3}\bm\nabla^2(\bm\nabla\cdot\bm u)-\bm\nabla\cdot\bm K
$ \because\bm\nabla\cdot\bm\nabla^2\bm u=\partial_i\partial_j\partial_ju_i=\bm\nabla^2(\bm\nabla\cdot\bm u)
$ =\frac{3K'+4G'}{3}\bm\nabla^2{\rm tr}\bm\varepsilon-\bm\nabla\cdot\bm K
$ \because{\rm tr}\bm\varepsilon=-\bm\nabla\cdot\bm u
$ \implies\frac{\partial\varepsilon_V}{\partial t}\simeq\frac k{\gamma_w}\bm\nabla^2 u
$ = \frac13\frac k{\gamma_w}(3K'+4G')\bm\nabla^2{\rm tr}\bm\varepsilon-\frac k{\gamma_w}\bm\nabla\cdot\bm K
$ 3K'=\frac{E'}{1-2\nu'},2G'=\frac{E'}{1+\nu'}より
$ 3K'+4G'=\frac{E'}{1-2\nu'}+\frac{2E'}{1+\nu'}=\frac{E'+E'\nu'+2E'-4E'\nu'}{(1-2\nu')(1+\nu')}=\frac{3E'(1-\nu')}{(1-2\nu')(1+\nu')}
合ってた
$ = \frac k{\gamma_wm_v}\bm\nabla^2{\rm tr}\bm\varepsilon-\frac k{\gamma_w}\bm\nabla\cdot\bm K
$ = c_v\bm\nabla^2{\rm tr}\bm\varepsilon-\frac k{\gamma_w}\bm\nabla\cdot\bm K
$ \implies\frac{\partial\varepsilon_V}{\partial t}\simeq c_v\bm\nabla^2{\rm tr}\bm\varepsilon-\frac k{\gamma_w}\bm\nabla\cdot\bm K
$ \implies\frac{\partial\varepsilon_V}{\partial t}\simeq c_v\bm\nabla^2\varepsilon_V-\frac k{\gamma_w}\bm\nabla\cdot\bm K
自重を無視すると、p.132式(5.48)が求まる
$ \underline{\therefore\frac{\partial\varepsilon_V}{\partial t}\simeq c_v\bm\nabla^2\varepsilon_V\quad}_\blacksquare
自重$ \bm K=\gamma_t\bm e_z(下向き正)を考慮すると
$ \underline{\therefore\frac{\partial\varepsilon_V}{\partial t}\simeq c_v\bm\nabla^2\varepsilon_V-c_vm_v\frac{\partial\gamma_t}{\partial z}\quad}_\blacksquare
$ c_v=\frac k{\gamma_wm_v}
弾性係数を一定として計算している点がまずい
いや、非線型の仮定があっても $ \mathrm d\bm\sigma'=\lambda'{\rm tr}\mathrm d\bm\varepsilon+2G'\mathrm d\bm\varepsilonだから、弾性係数には$ \bm\nablaがひとつかかるだけで済むのか
$ -\bm\nabla \frac{kG'}{\gamma_w}\cdot\bm\nabla^2\bm u-\bm\nabla\frac{k(3K'+G')}{3\gamma_w}\cdot\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm u)という項が残ってしまう
$ \frac{3K'+4G'}{3}=\frac1{m_v}としていることから、$ \frac1{m_v}が体積弾性係数ではないことがわかった しかし、3次元で考えたのに側方拘束されたときの弾性係数になるの不思議過ぎるtakker.icon
載荷応力との関係を求めたい
$ 2{\cal\pmb S}:\bm\nabla\bm K+\bm\nabla^2\bm\sigma+\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma=\frac13\left(1-\frac1K\right)(\bm\nabla^2({\rm tr}\bm\sigma)-\bm\nabla\cdot\bm K)\bm I
$ \bm\sigma=\bm\sigma'+u\bm I
$ \frac{\partial\varepsilon_V}{\partial t}=\frac k{\gamma_w}\bm\nabla^2 u
$ \varepsilon_V\simeq{\rm tr}\bm\varepsilon=\frac1K\frac13{\rm tr}\bm\sigma'
いや、弾性係数が位置で変化しないと仮定して導出した$ \frac{\partial\varepsilon_V}{\partial t}\simeq c_v\bm\nabla^2\varepsilon_Vに$ \varepsilon_V\simeq\frac1K\frac13{\rm tr}\bm\sigma'を入れてしまえばいいのか