体積ひずみと等方ひずみとの関係

$ \varepsilon_V\simeq{\rm tr}\pmb\varepsilon

定義

$ \varepsilon_V=\frac{\mathrm dv-\mathrm dV}{\mathrm dV}=J-1

$ \pmb\varepsilon=\frac12((\pmb F-\pmb I)+(\pmb F-\pmb I)^\top)=\frac12(\pmb F+\pmb F^\top)-\pmb I

導出

まずは厳密な関係式の導出を試みる

$ \varepsilon_V=J-1

$ =\det(\pmb F-\pmb I+\pmb I)-1

$ = \prod_i\left(\lambda^{\pmb F-\pmb I}_i+1\right)-1

$ = \lambda^{\pmb F-\pmb I}_0\lambda^{\pmb F-\pmb I}_1\lambda^{\pmb F-\pmb I}_2+\lambda^{\pmb F-\pmb I}_0\lambda^{\pmb F-\pmb I}_1+\lambda^{\pmb F-\pmb I}_1\lambda^{\pmb F-\pmb I}_2+\lambda^{\pmb F-\pmb I}_2\lambda^{\pmb F-\pmb I}_0+\lambda^{\pmb F-\pmb I}_0+\lambda^{\pmb F-\pmb I}_1+\lambda^{\pmb F-\pmb I}_2

$ = J_3+J_2+J_1

$ = \det(\pmb F-\pmb I)+\frac12(({\rm tr}(\pmb F-\pmb I))^2+{\rm tr}(\pmb F-\pmb I)^2)+{\rm tr}(\pmb F-\pmb I)

$ = \det(\pmb F-\pmb I)+\frac12(({\rm tr}\pmb\varepsilon)^2+{\rm tr}(\pmb F-\pmb I)^2)+{\rm tr}\pmb\varepsilon

$ \because{\rm tr}\pmb\varepsilon={\rm tr}\left(\frac12(\pmb F+\pmb F^\top)\right)-{\rm tr}\pmb I

$ = \frac12({\rm tr}\pmb F+{\rm tr}\pmb F)-{\rm tr}\pmb F\pmb I

$ ={\rm tr}(\pmb F-\pmb I)

$ \therefore\varepsilon_V=\det(\pmb F-\pmb I)+\frac12(({\rm tr}\pmb\varepsilon)^2+{\rm tr}(\pmb F-\pmb I)^2)+{\rm tr}\pmb\varepsilon