Beltrami-Michellの適合条件式
$ \bm\nabla^2\bm\sigma+\frac1{1+\nu}\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma=-\frac{\nu}{1-\nu}(\bm\nabla\cdot\bm K)\bm I-2{\cal\pmb S}:\bm\nabla\bm K
利用している条件から考えて、Laméの方程式を$ \bm\sigmaで書き換えたものと考えていいはず 他の弾性係数による表示
$ \bm\nabla^2\bm\sigma+\frac{6K+2G}{9K}\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma=-\frac{3K-2G}{3K+4G}(\bm\nabla\cdot\bm K)\bm I-2{\cal\pmb S}:\bm\nabla\bm K
$ \bm\nabla^2\bm\sigma+\frac1{1+\nu}\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma=-K_0(\bm\nabla\cdot\bm K)\bm I-2{\cal\pmb S}:\bm\nabla\bm K
系
物体力$ \bm K=\bm 0のとき、$ (1+\nu)\bm\nabla^2\bm\sigma+\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma=\bm0
下記導出の式(C)より$ \bm\nabla^2{\rm tr}\bm\sigma=-\frac{1+\nu}{1-\nu}\bm\nabla\cdot\bm Kとなるので、等方ひずみと等方応力がPoisson方程式を満たすことがわかる 導出
$ \bm\nabla^2\bm\varepsilon+\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\varepsilon=\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\varepsilon+(\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\varepsilon)^\top
$ \iff\frac{1+\nu}{E}\bm\nabla^2\bm\sigma-\frac\nu E\bm\nabla^2({\rm tr}\bm\sigma)\bm I+\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\varepsilon=2{\cal\pmb S}:\left(\frac{1+\nu}{E}\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\sigma-\frac\nu E\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma\right)
$ \because\bm\varepsilon=\frac{1+\nu}{E}\bm\sigma-\frac\nu E({\rm tr}\bm\sigma)\bm Iー(A)
$ \iff\frac{1+\nu}{E}\bm\nabla^2\bm\sigma-\frac\nu E\bm\nabla^2({\rm tr}\bm\sigma)\bm I+\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\varepsilon=2{\cal\pmb S}:\frac{1+\nu}{E}\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\sigma-\frac{2\nu} E\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma
$ \iff\frac{1+\nu}{E}\bm\nabla^2\bm\sigma-\frac\nu E\bm\nabla^2({\rm tr}\bm\sigma)\bm I+\frac{1-2\nu}E\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma=2{\cal\pmb S}:\frac{1+\nu}{E}\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\sigma-\frac{2\nu} E\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma
$ \because(A)$ \implies{\rm tr}\bm\varepsilon=\frac{1-2\nu}E{\rm tr}\bm\sigma
$ \iff (1+\nu)\bm\nabla^2\bm\sigma-\nu\bm\nabla^2({\rm tr}\bm\sigma)\bm I+\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma=2{\cal\pmb S}:(1+\nu)\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\sigmaー(B)
$ \iff \begin{dcases}(1+\nu)\bm\nabla^2\bm\sigma-\nu\bm\nabla^2({\rm tr}\bm\sigma)\bm I+\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma&=2{\cal\pmb S}:(1+\nu)\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\sigma\\(1+\nu)\bm\nabla^2{\rm tr}\bm\sigma-3\nu\bm\nabla^2({\rm tr}\bm\sigma)+\bm\nabla^2{\rm tr}\bm\sigma&=2(1+\nu)\bm\nabla\cdot\bm\nabla\cdot\bm\sigma\end{dcases}
(B)のtraceをとった
$ \iff \begin{dcases}(1+\nu)\bm\nabla^2\bm\sigma-\nu\bm\nabla^2({\rm tr}\bm\sigma)\bm I+\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma&=2{\cal\pmb S}:(1+\nu)\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\sigma\\2(1-\nu)\bm\nabla^2{\rm tr}\bm\sigma&=2(1+\nu)\bm\nabla\cdot\bm\nabla\cdot\bm\sigma\end{dcases}
$ \iff (1+\nu)\bm\nabla^2\bm\sigma-\nu\frac{1+\nu}{1-\nu}(\bm\nabla\cdot\bm\nabla\cdot\bm\sigma)\bm I+\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma=2{\cal\pmb S}:(1+\nu)\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\sigmaー(D)
(B)に$ \bm\nabla^2{\rm tr}\bm\sigma=\frac{1+\nu}{1-\nu}\bm\nabla\cdot\bm\nabla\cdot\bm\sigma(ー(C))を代入した
(D)のtraceから(C)が求まり、これを(D)に代入すれば(B)に戻るので、$ \iffで繋いで問題ない
$ \iff \bm\nabla^2\bm\sigma-\frac{\nu}{1-\nu}(\bm\nabla\cdot\bm\nabla\cdot\bm\sigma)\bm I+\frac1{1+\nu}\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma=2{\cal\pmb S}:\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\sigma
$ \iff \bm\nabla^2\bm\sigma+\frac1{1+\nu}\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma=\frac{\nu}{1-\nu}(\bm\nabla\cdot\bm\nabla\cdot\bm\sigma)\bm I+2{\cal\pmb S}:\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\sigma
ここまでは力の釣り合い式なしに成立する
$ \underline{\iff \bm\nabla^2\bm\sigma+\frac1{1+\nu}\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma=-\frac{\nu}{1-\nu}(\bm\nabla\cdot\bm K)\bm I-2{\cal\pmb S}:\bm\nabla\bm K\quad}_\blacksquare
$ \because連続体の力の釣り合い式$ \bm\nabla\cdot\bm\sigma+\bm K=\bm0を代入 References
式(2.52)がそれだが、物体力の計算をミスしているので注意
2024-01-15 13:07:14 以降の式はミス。後日修正する
導出
微小ひずみの適合条件$ \bm\nabla^2\bm\varepsilon+\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\varepsilon=\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\varepsilon+(\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\varepsilon)^\topに$ \bm\varepsilon=\frac1{9K}{\rm tr}(\bm\sigma)\bm I+\frac1{2G}{\cal\pmb D}:\bm\sigma=\left(\frac1{9K}-\frac1{6G}\right)({\rm tr}\bm\sigma)\bm I+\frac1{2G}\bm\sigmaを代入する $ \left(\frac1{9K}-\frac1{6G}\right)(\bm\nabla^2({\rm tr}\bm\sigma)-\bm\nabla\cdot(\bm\nabla\cdot\bm\sigma))\bm I=\frac1{2G}(\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\sigma+(\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\sigma)^\top-\bm\nabla^2\bm\sigma-\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma)
$ \implies\left(\frac1{3K}-\frac1{2G}\right)(\bm\nabla^2({\rm tr}\bm\sigma)-\bm\nabla\cdot(\bm\nabla\cdot\bm\sigma))=-\frac1{2G}(\bm\nabla^2({\rm tr}\bm\sigma)-\bm\nabla\cdot(\bm\nabla\cdot\bm\sigma))
$ \iff K=\infty\lor \bm\nabla^2({\rm tr}\bm\sigma)-\bm\nabla\cdot(\bm\nabla\cdot\bm\sigma)=0
これで項を減らす
$ \frac13\left(1-\frac1K\right)(\bm\nabla^2({\rm tr}\bm\sigma)-\bm\nabla\cdot(\bm\nabla\cdot\bm\sigma))\bm I=\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\sigma+(\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\sigma)^\top-\bm\nabla^2\bm\sigma-\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma
$ K\to\inftyの場合は左辺が残る。そうでない場合は左辺がまるまる0になる
$ K\to\infty=非圧縮性連続体
$ 2{\cal\pmb S}:\bm\nabla\bm K+\bm\nabla^2\bm\sigma+\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma=\frac13\left(1-\frac1K\right)(\bm\nabla^2({\rm tr}\bm\sigma)-\bm\nabla\cdot\bm K)\bm I
普通に運動方程式を入れたい場合は、$ \bm Kを$ \bm K-\rho\frac{\mathrm D\bm v}{\mathrm Dt}で置き換える
対称tensorなので、独立した式は6本である
$ ({\rm tr}\bm\sigma)\bm Iの計算
$ {\rm tr}({\rm tr}\bm\sigma)\bm I=({\rm tr}\bm I)({\rm tr}\bm\sigma)
$ \bm\nabla\cdot({\rm tr}\bm\sigma)\bm I=\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma
$ \bm\nabla^2({\rm tr}\bm\sigma)\bm I=({\rm tr}\bm\nabla^2\bm\sigma)\bm I
$ {\cal\pmb D}:\bm\sigmaの計算
$ {\rm tr}{\cal\pmb D}:\bm\sigma=0
$ \bm\nabla\cdot({\cal\pmb D}:\bm\sigma)=\bm\nabla\cdot\bm\sigma-\frac1{{\rm tr}\bm I}\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma
$ \bm\nabla^2({\cal\pmb D}:\bm\sigma)=\bm\nabla^2\bm\sigma-\frac1{{\rm tr}\bm I}(\bm\nabla^2{\rm tr}\bm\sigma)\bm I={\cal\bm D}:\bm\nabla^2\bm\sigma
以上をもとに、$ \bm\varepsilon=\frac1{9K}{\rm tr}(\bm\sigma)\bm I+\frac1{2G}{\cal\pmb D}:\bm\sigmaを代入した式展開を調べる
$ \bm\nabla^2\bm\varepsilon=\frac1{9K}{\rm tr}(\bm\nabla^2\bm\sigma)\bm I+\frac1{2G}{\cal\bm D}:\bm\nabla^2\bm\sigma
$ \bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\varepsilon=\frac1{3K}\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma
$ 2{\cal\pmb S}:\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\varepsilon=\frac2{9K}{\cal\pmb S}:\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma+\frac1 G{\cal\pmb S}:(\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\sigma-\frac1{{\rm tr}\bm I}\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma)
$ = \frac13\left(\frac2{3K}-\frac1 G\right){\cal\pmb S}:\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma+\frac1G{\cal\pmb S}:\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\sigma
$ = \frac13\left(\frac2{3K}-\frac1 G\right)\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma+\frac1G{\cal\pmb S}:\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\sigma
$ \bm\nabla{\rm tr}\bm\varepsilon=\frac1{3K}\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma
$ \bm\nabla\cdot\bm\varepsilon=\frac{1}{9K}\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma+\frac1{2G}\bm\nabla\cdot\bm\sigma-\frac1{2G}\frac1{{\rm tr}\bm I}\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma
$ =\frac13\left(\frac1{3K}-\frac1{2G}\right)\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma+\frac1{2G}\bm\nabla\cdot\bm\sigma
$ {\rm tr}\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\varepsilon=\bm\nabla^2{\rm tr}\bm\varepsilon={\rm tr}\bm\nabla^2\bm\varepsilon
$ {\rm tr}(2{\cal\pmb S}:\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\varepsilon)=2\bm\nabla\cdot(\bm\nabla\cdot\bm\varepsilon))
$ \therefore \bm\nabla^2\bm\varepsilon+\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\varepsilon=\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\varepsilon+(\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\varepsilon)^\top
$ \implies 2\bm\nabla^2{\rm tr}\bm\varepsilon=2\bm\nabla\cdot(\bm\nabla\cdot\bm\varepsilon)
$ \iff\bm\nabla\cdot(\bm\nabla{\rm tr}\bm\varepsilon-\bm\nabla\cdot\bm\varepsilon)=0
これにHookeの法則を代入する
$ \implies-\frac13\left(\frac2{3K}+\frac1{2G}\right)\bm\nabla^2{\rm tr}\bm\sigma+\frac1{2G}\bm\nabla\cdot(\bm\nabla\cdot\bm\sigma)=0
やっぱり計算ミスしてたな
$ \iff-\frac13\frac{4G+3K}{6KG}\bm\nabla^2{\rm tr}\bm\sigma+\frac1{2G}\bm\nabla\cdot(\bm\nabla\cdot\bm\sigma)=0
解答には$ \bm\nabla^2{\rm tr}\bm\sigmaがないので、これを消去する式を組み立てればいい
$ \iff-\frac{4G+3K}{9K}\bm\nabla^2{\rm tr}\bm\sigma+\bm\nabla\cdot(\bm\nabla\cdot\bm\sigma)=0
$ \bm\nabla^2{\rm tr}\bm\sigmaが出てくる項は$ \bm\nabla^2\bm\varepsilonしかないので、これに代入すればいい
$ \bm\nabla^2\bm\varepsilon=\frac1{9K}{\rm tr}(\bm\nabla^2\bm\sigma)\bm I+\frac1{2G}{\cal\bm D}:\bm\nabla^2\bm\sigma
$ =\frac1{9K}(\bm\nabla^2{\rm tr}\bm\sigma)\bm I+\frac1{2G}\bm\nabla^2\bm\sigma-\frac1{6G}(\bm\nabla^2{\rm tr}\bm\sigma)\bm I
$ = \frac13\frac{2G+3K}{6KG}\frac{9K}{4G+3K}(\bm\nabla\cdot(\bm\nabla\cdot\bm\sigma))\bm I+\frac1{2G}\bm\nabla^2\bm\sigma
$ = \frac1{2G}\left(\frac{2G+3K}{4G+3K}(\bm\nabla\cdot(\bm\nabla\cdot\bm\sigma))\bm I+\bm\nabla^2\bm\sigma\right)
以上より
$ \bm\nabla^2\bm\varepsilon+\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\varepsilon=\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\varepsilon+(\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\varepsilon)^\top
$ \iff \frac{2G+3K}{4G+3K}(\bm\nabla\cdot(\bm\nabla\cdot\bm\sigma))\bm I+\bm\nabla^2\bm\sigma+\frac{2G}{3K}\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma=\frac{2G}3\left(\frac2{3K}-\frac1 G\right)\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma+2{\cal\pmb S}:\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\sigma
$ \iff \frac{2G+3K}{4G+3K}(\bm\nabla\cdot(\bm\nabla\cdot\bm\sigma))\bm I+\bm\nabla^2\bm\sigma+\frac{2G}{3K}\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma=\frac23\left(\frac{2G}{3K}-1\right)\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma+2{\cal\pmb S}:\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\sigma
$ \iff \frac{2G+3K}{4G+3K}(\bm\nabla\cdot(\bm\nabla\cdot\bm\sigma))\bm I+\bm\nabla^2\bm\sigma=\left(-\frac13\frac{2G}{3K}-\frac23\right)\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma+2{\cal\pmb S}:\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\sigma
$ \iff -\frac{2G+3K}{4G+3K}(\bm\nabla\cdot\bm K)\bm I+\bm\nabla^2\bm\sigma=\left(-\frac13\frac{2G}{3K}-\frac23\right)\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma-2{\cal\pmb S}:\bm\nabla\bm K
$ \iff \bm\nabla^2\bm\sigma+\left(\frac13\frac{2G}{3K}+\frac23\right)\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma=\frac{2G+3K}{4G+3K}(\bm\nabla\cdot\bm K)\bm I-2{\cal\pmb S}:\bm\nabla\bm K
あれ？$ (\bm\nabla\cdot\bm K)\bm Iの符号がおかしいな……
$ \nuでやり直すか。
ひずみに代入するところからやり直せばいい
$ \bm\varepsilon=-\frac\nu E{\rm tr}(\bm\sigma)\bm I+\frac{1+\nu}E\bm\sigma
$ \bm\nabla^2\bm\varepsilon=-\frac\nu E\bm\nabla^2{\rm tr}\bm\sigma\bm I+\frac{1+\nu}E\bm\nabla^2\bm\sigma
$ \bm\nabla\cdot\bm\varepsilon=-\frac\nu E\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma+\frac{1+\nu}E\bm\nabla\cdot\bm\sigma
$ {\rm tr}\varepsilon=-\frac{\nu}{3E}({\rm tr}\bm\sigma)+\frac{1+\nu}E({\rm tr}\bm\sigma)=\frac{3+2\nu}{3E}({\rm tr}\bm\sigma)
$ \bm\nabla\cdot(\bm\nabla{\rm tr}\bm\varepsilon-\bm\nabla\cdot\bm\varepsilon)=0
$ \implies \bm\nabla\cdot\left(\frac{3+2\nu}{3E}(\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma)+\frac\nu E\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma-\frac{1+\nu}E\bm\nabla\cdot\bm\sigma\right)=0
$ \iff (3+5\nu)(\bm\nabla^2{\rm tr}\bm\sigma)-3(1+\nu)\bm\nabla\cdot(\bm\nabla\cdot\bm\sigma)=0
$ \iff \bm\nabla^2{\rm tr}\bm\sigma=\frac{3+3\nu}{3+5\nu}\bm\nabla\cdot(\bm\nabla\cdot\bm\sigma)
$ \bm\nabla^2\bm\varepsilon+\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\varepsilon=\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\varepsilon+(\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\varepsilon)^\top
$ \implies-\frac\nu E\frac{3+3\nu}{3+5\nu}\bm\nabla\cdot(\bm\nabla\cdot\bm\sigma)\bm I+\frac{1+\nu}E\bm\nabla^2\bm\sigma+\bm\nabla\bm\nabla\frac{3+2\nu}{3E}({\rm tr}\bm\sigma)=2{\cal\pmb S}:\left(-\frac\nu E\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma+\frac{1+\nu}E\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\sigma\right)
$ \iff-\nu\frac{3+3\nu}{3+5\nu}\bm\nabla\cdot(\bm\nabla\cdot\bm\sigma)\bm I+(1+\nu)\bm\nabla^2\bm\sigma+\bm\nabla\bm\nabla\frac{3+2\nu}{3}({\rm tr}\bm\sigma)=-2\nu\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma+2{\cal\pmb S}:(1+\nu)\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\sigma
$ \iff-\nu\frac{3+3\nu}{3+5\nu}\bm\nabla\cdot(\bm\nabla\cdot\bm\sigma)\bm I+(1+\nu)\bm\nabla^2\bm\sigma+\frac{3+8\nu}{3}\bm\nabla\bm\nabla({\rm tr}\bm\sigma)=2{\cal\pmb S}:(1+\nu)\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\sigma
うーん、係数があわない