Beltrami-Michellの適合条件式が文献によって違う

まとめ

(P)

ベルトラミ・ミッチェルの適合条件式［JSME Mechanical Engineering Dictionary］

✅$ \bm\nabla^2\bm\sigma+\frac1{1+\nu}\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma=-\frac{\nu}{1-\nu}(\bm\nabla\cdot\bm K)\bm I-2{\cal\pmb S}:\bm\nabla\bm K

(Q) 『新体系土木工学6 弾性体の力学』 p.48

❌$ \bm\nabla^2\bm\sigma+\frac1{1+\nu}\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma=-\frac{1+\nu}{1-\nu}\bm\nabla\bm K^\top-\bm\nabla\bm K

『新体系土木工学6 弾性体の力学』の導出を追った結果、(Q)が誤りで(P)が正しいことがわかった

(P)と(Q)が一致しない

構造と連続体の力学基礎熊でもわかる変形できる物体の力学には言及なし

自分で展開を追うしか無いか

『新体系土木工学6 弾性体の力学』 p.48の導出を追う

式(2.41)：$ \bm\varepsilon=\frac{1+\nu}{E}\bm\sigma-\frac\nu E({\rm tr}\bm\sigma)\bm I

式(2.39)：$ {\rm tr}\bm\varepsilon=\frac{1-2\nu}E{\rm tr}\bm\sigma

式(1.82)：$ \bm\nabla^2\bm\varepsilon+\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\varepsilon=\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\varepsilon+(\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\varepsilon)^\top

式(1.82)に式(2.41)と式(2.39)を代入する

$ \frac{1+\nu}{E}\bm\nabla^2\bm\sigma-\frac\nu E\bm\nabla^2({\rm tr}\bm\sigma)\bm I+\frac{1-2\nu}E\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma=2{\cal\pmb S}:\left(\frac{1+\nu}{E}\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\sigma-\frac\nu E\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma\right)

$ =2{\cal\pmb S}:\frac{1+\nu}{E}\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\sigma-\frac{2\nu} E\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma

$ \iff (1+\nu)\bm\nabla^2\bm\sigma-\nu\bm\nabla^2({\rm tr}\bm\sigma)\bm I+\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma=2{\cal\pmb S}:(1+\nu)\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\sigmaー(A)

Laméの方程式を微分する

$ \bm\nabla^2\bm u+\frac1{1-2\nu}\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm u+\frac{2}{E}(1+\nu)\bm K=\bm0

$ \implies\bm\nabla^2(\bm\nabla\cdot\bm u)+\frac1{1-2\nu}\bm\nabla^2(\bm\nabla\cdot\bm u)+\frac{2}{E}(1+\nu)\bm\nabla\cdot\bm K=0

$ \iff \frac{2(1-\nu)}{1-2\nu}\bm\nabla^2(\bm\nabla\cdot\bm u)+\frac2E(1+\nu)\bm\nabla\cdot\bm K=0

$ \iff \frac{1-\nu}{1-2\nu}\bm\nabla^2(\bm\nabla\cdot\bm u)+\frac{1+\nu}E\bm\nabla\cdot\bm K=0

$ \iff \frac{1-\nu}{1-2\nu}\bm\nabla^2{\rm tr}\bm\varepsilon+\frac{1+\nu}E\bm\nabla\cdot\bm K=0

$ \because{\rm tr}\bm\varepsilon={\rm tr}\bm\nabla\bm u=\bm\nabla\cdot\bm u

$ \iff \frac{1-\nu}{1-2\nu}\frac{1-2\nu}E\bm\nabla^2{\rm tr}\bm\sigma+\frac{1+\nu}E\bm\nabla\cdot\bm K=0

$ \because式(2.39)

$ \iff (1-\nu)\bm\nabla^2{\rm tr}\bm\sigma+(1+\nu)\bm\nabla\cdot\bm K=0ー(B)

式(C)：連続体の力の釣り合い式

式(A)に式(B),式(C)を代入する

$ (1+\nu)\bm\nabla^2\bm\sigma+\nu\frac{1+\nu}{1-\nu}(\bm\nabla\cdot\bm K)\bm I+\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma=-2{\cal\pmb S}:(1+\nu)\bm\nabla\bm K

$ \iff\bm\nabla^2\bm\sigma+\frac{\nu}{1-\nu}(\bm\nabla\cdot\bm K)\bm I+\frac1{1+\nu}\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma=-2{\cal\pmb S}:\bm\nabla\bm K

『新体系土木工学6 弾性体の力学』はここを間違えていたtakker.icon

$ (\bm\nabla\cdot\bm K)\bm I\neq\bm\nabla\bm K

原書の記号を使うと、$ \delta_{ik}\frac{\partial X_i}{\partial x_i}=\frac{\partial X_i}{\partial x_k}としていたのが誤り

正しくは$ \delta_{ik}\frac{\partial X_j}{\partial x_j}である

以降で物体力を0としたBeltramiの適合条件式しか使っていないので、ここの間違いに気づかなかったのだろう

$ \underline{\iff\bm\nabla^2\bm\sigma+\frac1{1+\nu}\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\sigma=-\frac{\nu}{1-\nu}(\bm\nabla\cdot\bm K)\bm I-2{\cal\pmb S}:\bm\nabla\bm K\quad}_\blacksquare

#2024-01-15 14:35:58