Laméの方程式
$ \bm\nabla^2\bm u+\frac{3K+G}{3G}\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm u)+\frac {\bm K}G=\bm0
2024-04-12 22:58:02 係数ミスってる？
導出
$ \bm\nabla\cdot\bm\sigma+\bm K=\bm 0
$ \implies K\bm\nabla\mathrm{tr}\bm\varepsilon+2G\bm\nabla\cdot{\cal\bm D}:\bm\varepsilon+\bm K=\bm0
$ \iff K\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm u)+2G(\bm\nabla\cdot\bm\varepsilon-\frac13\bm\nabla\mathrm{tr}\bm\varepsilon)+\bm K=\bm0
$ \iff K\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm u)+2G(\frac12\bm\nabla^2\bm u+\frac12\bm\nabla\cdot(\bm\nabla\bm u)^\top-\frac13\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm u))+\bm K=\bm0
$ \iff K\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm u)+2G(\frac12\bm\nabla^2\bm u+\frac12\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm u)-\frac13\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm u))+\bm K=\bm0
$ \because\nabla\cdot(\bm\nabla\bm u)^\top=\partial_j\partial_iu_j=\partial_i\partial_ju_j=\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm u)
$ \iff \bm\nabla^2\bm u+\frac KG\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm u)+\frac13\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm u)+\frac {\bm K}G=\bm0
$ \iff \bm\nabla^2\bm u+\frac{3K+G}{3G}\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm u)+\frac {\bm K}G=\bm0
動いている場合も考慮するときは、運動項を慣性力として物体力$ \bm Kに入れればいい
$ \bm\nabla^2\bm u+\frac{3K+G}{3G}\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm u)+\frac 1G\left(\bm K-\rho\frac{\partial^2\bm u}{\partial t^2}\right)=\bm0
なお、$ \frac{\partial^2\bm u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2\bm\phi}{\partial t^2}である
特徴
$ \bm\nablaをつけると
$ \frac{3K+4G}{3G}\bm\nabla^2(\bm\nabla\cdot\bm u)+\bm\nabla\cdot\frac {\bm K}G=\bm0
$ \because\bm\nabla\cdot\bm\nabla^2\bm u=\partial_i\partial_j\partial_ju_i=\bm\nabla^2(\bm\nabla\cdot\bm u)
物体力$ \bm Kがないなら、$ \bm\nabla\cdot\bm uはLaplace方程式を満たす $ {\rm tr}\bm\varepsilon=\bm\nabla\cdot\bm uなので、物体力がないとき等方ひずみが調和函数になるということである 解
$ \bm K=\bm 0\land\bm\nabla\times\bm u=\bm 0のとき
$ \bm\nabla^2\left(\bm u+\frac{3K+G}{3G}\bm\nabla\varphi\right)=\bm0
$ \bm u=\bm\nabla\varphiとした
$ \iff\bm u+\frac{3K+G}{3G}\bm\nabla\varphi=\bm\phi\quad\text{.for }\exist\bm\phi
$ \implies\bm\nabla\cdot\bm u+\frac{3K+G}{3G}\bm\nabla^2\varphi=\bm\nabla\cdot\bm\phi
$ \iff\frac{3K+4G}{3G}\bm\nabla^2\varphi=\bm\nabla\cdot\bm\phi
$ \iff\bm\nabla^2\varphi=\frac{3G}{3K+4G}\bm\nabla\cdot\bm\phi
$ \iff\varphi=\varphi_*+\xi
$ \varphi_*は↑の特解、$ \xiは任意の調和函数
$ \therefore\bm u=-\frac{3K+G}{3G}\bm\nabla(\varphi_*+\xi)+\bm\phi\quad\text{.for }\exist\bm\phi
$ \bm\varphi:=-\frac{3K+G}{3G}\bm\nabla\xi+\bm\phi
$ \bm\nabla^2\varphi_*=\frac{3G}{3K+4G}\bm\nabla\cdot\bm\varphiが成り立つらしい
導出
特解のひとつに$ \varphi_*=\frac12\frac{3G}{3K+4G}\bm r\cdot\bm\varphiがあるので、↓とも書ける
$ \bm u=\bm\varphi-\frac12\frac{3K+G}{3K+4G}\bm\nabla(\bm r\cdot\bm\varphi)
一般解中の未知量が3個と一番少ない
$ 2G\bm u=\frac{3K+4G}{3K+G}\bm\nabla^2\bm\Phi-\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm\Phi)
References