有限領域のPoisson方程式の解

有限領域$ BにてPoisson方程式$ \pmb\nabla^2\phi=fの解は次のようになる

$ \phi(\pmb x)=-\frac{\left(\frac n2\right)!}{2n(n-2)\pi^\frac n2}\int_{\pmb r\in B}f(\pmb r)|\pmb r-\pmb x|^{2-n}\mathrm dV

$ nは次元($ n\neq 2)

3次元の場合

$ \phi(\pmb x)=\nabla^{-2}f

$ \nabla^{-2}：逆Laplacian

2次元の場合はlogになるらしい

$ \phi(\pmb x)=-\frac1{2\pi}\int_{\pmb r\in B}f(\pmb r)\ln\frac{1}{|\pmb r-\pmb x|}\mathrm dS

有限領域は表面積分を考慮しないといけない

導出

tensorの場合はどうなるんだろう

$ \pmb\nabla^2\pmb\phi=\pmb T

$ \iff \pmb\phi(\pmb x)=?