逆Laplacian
$ \nabla^{-2}_B\bm f(\bm x):=-\frac1{4\pi}\int_B\frac{\bm f(\bm x')}{|\bm x-\bm x'|}\mathrm dV'
(3次元の場合)
原書からの表記の変更:積分領域$ Bを入れた
性質
$ \bm\nabla^2\bm\phi=\bm c\iff\bm\phi=\nabla^{-2}_B\bm c\quad\text{.for }\forall B
$ \bm vが有限領域に分布しているなら、$ \nabla^{-2}_B\bm\nabla\cdot\bm v=\bm\nabla\cdot\nabla^{-2}_B\bm v
$ \bm\phi(\bm r)=\bm\nabla^2\nabla_B^{-2}\bm\phi
は成立するが、その逆の$ \nabla_B^{-2}\bm\nabla^2\bm\phiが成立するかはわからない
一般化
$ \nabla^{-2}_B\bm f(\bm x):=-\frac{\left(\frac n2\right)!}{2n(n-2)\pi^\frac n2}\int_B\bm f(\bm x')|\bm x-\bm x'|^{2-n}\mathrm dV'
$ n=2のとき
$ \nabla^{-2}_B\bm f(\bm x):=-\frac1{2\pi}\int_B\bm f(\bm x')\ln\frac{1}{|\bm x-\bm x'|}\mathrm dS'
$ n=1のとき
$ \nabla^{-2}\bm f(x):=\iint\bm f(x)\mathrm dx^2