逆Laplacian

『電磁気学の基礎Ⅰ』付録 A.3 ヘルムホルツの定理 p.302-303で導入されているvectorの積分演算子

$ \nabla^{-2}_B\bm f(\bm x):=-\frac1{4\pi}\int_B\frac{\bm f(\bm x')}{|\bm x-\bm x'|}\mathrm dV'

(3次元の場合)

原書からの表記の変更：積分領域$ Bを入れた

性質

$ \bm\nabla^2\bm\phi=\bm c\iff\bm\phi=\nabla^{-2}_B\bm c\quad\text{.for }\forall B

$ \bm vが有限領域に分布しているなら、$ \nabla^{-2}_B\bm\nabla\cdot\bm v=\bm\nabla\cdot\nabla^{-2}_B\bm v

Helmholtzの定理の導出より、$ \bm r\in Bが成立する任意の領域$ Bにて

$ \bm\phi(\bm r)=\bm\nabla^2\nabla_B^{-2}\bm\phi

は成立するが、その逆の$ \nabla_B^{-2}\bm\nabla^2\bm\phiが成立するかはわからない

一般化

Poisson方程式の一般解になればいいなら、

$ \nabla^{-2}_B\bm f(\bm x):=-\frac{\left(\frac n2\right)!}{2n(n-2)\pi^\frac n2}\int_B\bm f(\bm x')|\bm x-\bm x'|^{2-n}\mathrm dV'

$ n=2のとき

$ \nabla^{-2}_B\bm f(\bm x):=-\frac1{2\pi}\int_B\bm f(\bm x')\ln\frac{1}{|\bm x-\bm x'|}\mathrm dS'

$ n=1のとき

$ \nabla^{-2}\bm f(x):=\iint\bm f(x)\mathrm dx^2