Helmholtzの定理
$ \bm{v}(\bm{x})=\bm{\nabla}\phi(\bm{x})+\bm{\nabla}\times\bm{A}(\bm{x})
$ =\bm{\nabla}\cdot(\phi\bm{I})+{\Large\bm{\epsilon}}:(\bm{\nabla}\bm{A})
$ =\bm{I}:\bm{\nabla}(\phi\bm{I})+{\Large\bm{\epsilon}}:(\bm{\nabla}\bm{A})
どうやって証明するんだこれ……takker.icon
これは一筋縄ではいかないな……takker.icon
性質
$ \bm{\nabla}\cdot\bm{v}=\bm{\nabla}^2\phi+0
$ \bm{\nabla}\times\bm{v}=\bm{0}+\bm{\nabla}(\bm{\nabla}\cdot\bm{A})-\bm{\nabla}^2\bm{A}
別表記
$ \bm v=\bm v_L+\bm v_T
ページ冒頭の表記と比較すると
$ \bm v_L=\bm\nabla\bm v
$ \bm v_T=\bm\nabla\times\bm v
となっている
同値性を示すには
具体的にpotentialを構成している
以下、wikipediaからパクってきた式
$ \bm F(\bm r) = \int_V \bm F\left(\bm r'\right)\delta(\bm r-\bm r') \mathrm{d}V'
$ =\int_V\bm F(\bm r')\left(-\frac{1}{4\pi}\bm\nabla^2\frac{1}{\left|\bm r-\bm r'\right|}\right)\mathrm{d}V'
$ =-\frac{1}{4\pi}\bm\nabla^2 \int_V \frac{\bm F(\bm r')}{\left|\bm r-\bm r'\right|}\mathrm{d}V'
$ =-\frac{1}{4\pi}\left(\bm\nabla\left(\bm\nabla\cdot\int_V\frac{\bm F(\bm r')}{\left|\bm r-\bm r'\right|}\mathrm{d}V'\right)-\bm\nabla\times\left(\bm\nabla\times\int_V\frac{\bm F(\bm r')}{\left|\bm r-\bm r'\right|}\mathrm{d}V'\right)\right)
この時点で解答としてもいいのだろうか？
$ =-\frac{1}{4\pi} \left(\bm\nabla\left(\int_V\bm F(\bm r')\cdot\bm\nabla\frac{1}{\left|\bm r-\bm r'\right|}\mathrm{d}V'\right)+\bm\nabla\times\left(\int_V\bm F(\bm r')\times\bm\nabla\frac{1}{\left|\bm r-\bm r'\right|}\mathrm{d}V'\right)\right)
$ =-\frac{1}{4\pi}\left(-\bm\nabla\left(\int_V\bm F(\bm r')\cdot\bm\nabla'\frac{1}{\left|\bm r-\bm r'\right|}\mathrm{d}V'\right)-\bm\nabla\times\left(\int_V\bm F (\bm r')\times\bm\nabla'\frac{1}{\left|\bm r-\bm r'\right|}\mathrm{d}V'\right)\right)
ここわからない
$ \bm\nabla\frac{1}{\left|\bm r-\bm r'\right|}=-\bm\nabla'\frac{1}{\left|\bm r-\bm r'\right|}らしい？
2023-12-03 07:08:38 あーわかったtakker.icon
$ \bm\nabla\frac{1}{\left|\bm r-\bm r'\right|}=\frac{1}{{\left|\bm r-\bm r'\right|}^2}{\rm sgn}\left(\bm r-\bm r'\right)
$ \bm\nabla'\frac{1}{\left|\bm r-\bm r'\right|}=\bm\nabla'\frac{1}{\left|\bm r'-\bm r\right|}=\frac{1}{{\left|\bm r'-\bm r\right|}^2}{\rm sgn}\left(\bm r'-\bm r\right)=-\frac{1}{{\left|\bm r-\bm r'\right|}^2}{\rm sgn}\left(\bm r-\bm r'\right)
$ \therefore\bm\nabla\frac{1}{\left|\bm r-\bm r'\right|}=-\bm\nabla'\frac{1}{\left|\bm r-\bm r'\right|}
$ =-\frac{1}{4\pi}\left(-\bm\nabla\left(\int_V\bm F(\bm r')\cdot\bm\nabla'\frac{1}{\left|\bm r-\bm r'\right|}\mathrm{d}V'\right)-\bm\nabla\times\left(\int_V\bm F (\bm r')\times\bm\nabla'\frac{1}{\left|\bm r-\bm r'\right|}\mathrm{d}V'\right)\right)
$ =-\frac{1}{4\pi}\left(\bm\nabla\left(\int_V\frac{\bm\nabla'\cdot\bm F(\bm r')}{\left|\bm r-\bm r'\right|}\mathrm{d}V'-\int_{\partial V}\frac{\bm F(\bm r')}{|\bm r-\bm r'|}\cdot\mathrm d\bm A'\right)+\bm\nabla\times\left(-\int_V\frac{\bm\nabla'\times\bm F (\bm r')}{\left|\bm r-\bm r'\right|}\mathrm{d}V'-\int_{\partial V}\frac{\bm F(\bm r')}{|\bm r-\bm r'|}\times\mathrm d\bm A'\right)\right)
$ \because\bm\nabla\cdot(\phi\bm a)=(\bm\nabla\phi)\cdot\bm a+\phi\bm\nabla\cdot\bm a\land\bm\nabla\times(\phi\bm a)=(\bm\nabla\phi)\times\bm a+\phi\bm\nabla\times\bm a
$ \implies\forall V\exist\phi,\bm A;
$ \underline{\begin{dcases}\bm F&=\bm\nabla\phi+\bm\nabla\times\bm A\\\phi&=-\frac1{4\pi}\int_V\frac{\bm\nabla'\cdot\bm F(\bm r')}{|\bm r-\bm r'|}\mathrm dV'+\frac1{4\pi}\int_{\partial V}\frac{\bm F(\bm r')}{|\bm r-\bm r'|}\cdot\mathrm d\bm A'\\\bm A&=\frac1{4\pi}\int_V\frac{\bm\nabla'\times\bm F(\bm r')}{|\bm r-\bm r'|}\mathrm dV'+\frac1{4\pi}\int_{\partial V}\frac{\bm F(\bm r')}{|\bm r-\bm r'|}\times\mathrm d\bm A'\end{dcases}\quad}_\blacksquare
$ \bm F(\bm r)=\bm\nabla^2\nabla^{-2}\bm F
$ = (\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\nabla^{-2}\bm F)+\bm\nabla\times(\bm\nabla\times\nabla^{-2}\bm F))
$ =(略)
$ =\bm\nabla\left(\nabla^{-2}\bm\nabla\cdot\bm F-\frac1{4\pi}\int_{\partial V}\frac{\bm F(\bm r')}{|\bm r-\bm r'|}\cdot\mathrm d\bm A'\right)+\bm\nabla\times\left(-\nabla^{-2}\bm\nabla\times\bm F-\int_{\partial V}\frac{\bm F(\bm r')}{|\bm r-\bm r'|}\times\mathrm d\bm A'\right)
問．ヘルムホルツの定理の証明がよくわかりません．
答．$ \bm Bを任意のベクトル場としますね．(領域は$ \R^3の閉曲面で囲まれた星型領域)．その$ \bm Bに対し，$ \phi=\bm\nabla\cdot\bm Bとおいて，ポアッソン方程式$ \Delta f=\phiを解くわけです．その解$ fについて，$ \bm\nabla\cdot(\bm B-\bm\nabla f)=\bm\nabla\cdot\bm B-\bm\nabla\cdot\bm\nabla f=\phi-\Delta f=0となり，$ \bm B-\bm\nabla f=\bm\nabla\times\bm Aとなるベクトル場$ \bm Aについて，$ \bm B=\bm\nabla\times\bm A+\bm\nabla fと表されるわけです． $ \bm\nabla\cdot\bm T=\bm0\iff\bm T=\bm\nabla\times\bm A\quad\text{.for }\exist\bm Aが証明されている前提の説明
こんなのを公開しちゃっていいのかtakker.icon
$ \int_{\partial V}(\bm a\times\bm\nabla\times\bm b)\cdot\mathrm d\bm S=\int_V((\bm\nabla\times a)\cdot(\bm\nabla\times b)-\bm a\cdot(\bm\nabla\times\bm\nabla\times\bm b))\mathrm dV
$ \bm b=\frac{\bm c}{|\bm r-\bm r'|}\quad(\bm c=\rm const.)を入れて計算する
デルタ関数からスタートする方法
こちらはwikipediaと同一
あえてリンクを貼っていないようだから、ここでリンクを貼るのはよくないかもtakker.icon
複数ドメインで同じ人物？が同様の主張をしている
2つの表現方法がある？
任意の連続なvector場$ \bm x\mapsto\bm Aについて、$ \exist\alpha\in\R;\frac{|\bm A|}{\frac1r}\to\alpha\quad(|\bm x|\to\infty)\land\exist\alpha\in\R;\frac{|\bm\nabla\cdot\bm A|}{\frac1{r^2}}\to\alpha\quad(|\bm x|\to\infty)\land\exist\alpha\in\R;\frac{|\bm\nabla\times\bm A|}{\frac1{r^2}}\to\alpha\quad(|\bm x|\to\infty)のとき、定数・定vectorの差を除いて一意な$ \phi,\bm Xが存在し、$ \bm A=\bm\nabla\phi+\bm\nabla\times\bm Xが成立する
この条件はおそらく$ (\bm I\bm I+2{\cal\pmb W})\vdots\bm\nabla\frac1{4\pi}\int_{\partial B}\frac{\bm f(\bm\xi)}{|\bm x-\bm\xi|}\mathrm d\bm S_{\bm\xi}\to0になることを示している
任意の領域のベクトル場は、その内部で発散と回転を与え、そして領域の境 界での法線方向の成分を与えれば、一意に決まる。