位置rの微分公式
Nabla$ \bm\nablaとそのパラメタ$ \bm rとの組み合わせ そういえば一通り計算したことなかったなーと思ったのでやる
$ \mathrm d\bm r=\bm e_i\mathrm d e^i
$ \bm\nabla\bm r=\bm e^i\frac{\partial\bm r}{\partial e^i}=\bm e^i\bm e_i=\bm I
$ \bm\nabla\cdot\bm r=\mathrm{tr}\bm I
$ \bm\nabla\times\bm r={\Large\bm\epsilon}:\bm I=\bm 0
$ \bm\nabla|\bm r|^2=2\bm r\cdot\bm\nabla\bm r=2\bm r
$ \bm\nabla|\bm r|^n=\frac n2\left(|\bm r|^2\right)^{\frac n2-1}\cdot2\bm r=n|\bm r|^{n-1}\hat{\bm r}
$ \mathrm d|\bm r|=\bm\nabla|\bm r|\cdot\mathrm d\bm r=\hat{\bm r}\cdot\mathrm d\bm rより、常に$ |\bm r|=\rm const.(円運動)なら原点からの方向と常に垂直な方向に動く($ \hat{\bm r}\bot\mathrm d\bm r)ことがわかる $ \bm r\neq0のとき
$ \bm\nabla\frac1{|\bm r|^n}=-\frac n{|\bm r|^{n+1}}\hat{\bm r}
$ \bm\nabla\hat{\bm r}=\frac1{|\bm r|}\bm\nabla\bm r-\frac1{|\bm r|^2}\hat{\bm r}\bm r=\frac1{|\bm r|}(\bm I-\hat{\bm r}\hat{\bm r})
$ \bm\nabla^2|\bm r|^n=n\bm\nabla\cdot\left(|\bm r|^{n-1}\hat{\bm r}\right)
$ =n(n-1)|\bm r|^{n-2}\hat{\bm r}\cdot\hat{\bm r}+n|\bm r|^{n-1}\frac1{|\bm r|}(\bm I-\hat{\bm r}\hat{\bm r}):\bm I
$ =n(n-1)|\bm r|^{n-2}+({\rm tr}\bm I-1)n|\bm r|^{n-2}
$ = n({\rm tr}\bm I+n-2)|\bm r|^{n-2}
$ V=\{\bm r\in\R^3||\bm r|\le r\}とする
$ \int_V\bm\nabla^2|\bm r|^n\mathrm dv=\int_{\partial V}\bm\nabla|\bm r|^n\cdot\mathrm d\bm s
$ = n\int_{\partial V}|\bm r|^{n-1}\hat{\bm r}\cdot\mathrm d\bm s
$ = n\int_{\partial V}|\bm r|^{n-1}\mathrm d|\bm s|
$ \because$ Vは原点を中心とした球体だから、$ \forall\bm r\in\partial V;\hat{\bm r}//\mathrm d\bm s
$ = nr^{n-1}\int_{\partial V}\mathrm d|\bm s|
$ \because\partial Vは球面だから、$ \forall\bm r\in V;|\bm r|=r
$ = nr^{n-1}\cdot4\pi r^2
$ = 4\pi nr^{n+1}
$ \implies \int_V\frac{\bm\nabla^2|\bm r|^n}{4\pi nr^{n+1}}\mathrm dv=1
$ n=-1のとき、$ rが消えてうまい式ができる
$ \int_V\frac{\bm\nabla^2|\bm r|^{-1}}{-4\pi}\mathrm dv=1
以上を組み合わせると、$ \forall \bm rでの$ \bm\nabla^2|\bm r|^{-1}が求まる
$ \bm r\ne\bm 0then
$ \int_V\frac{\bm\nabla^2|\bm r|^{-1}}{-4\pi}\mathrm dv=\int_V0\mathrm dv=0
$ \bm r=\bm 0then
$ \int_V\frac{\bm\nabla^2|\bm r|^{-1}}{-4\pi}\mathrm dv=1
$ \therefore\bm\nabla^2\frac{1}{|\bm r|}=-4\pi\delta(\bm r)
2次元の場合は$ \ln|\bm r|かな
$ \bm\nabla\ln|\bm r|=\frac1{|\bm r|}\hat{\bm r}
$ \bm\nabla^2\ln|\bm r|=0\quad\text{if }\bm r\neq\bm 0
$ \bm r=\bm 0を含む領域を$ Sとすると
$ \int_S \bm\nabla^2\ln|\bm r|\mathrm dS=\int_{\partial S}\bm\nabla\ln|\bm r|\cdot(-\bm\epsilon\cdot\mathrm d\bm l)
$ =-\int_{\partial S}\frac1{|\bm r|}\hat{\bm r}\cdot\bm\epsilon\cdot\mathrm d\bm l
$ =-\int_{\partial S}\frac1{|\bm r|}\mathrm d|\bm l|
$ \because境界上では常に$ \hat{\bm r}\bot\mathrm d\bm l
$ = -\frac1r\int_{\partial S}\mathrm dl
$ Sを円盤だとしたとき、$ |\bm r|=\rm const.=rとなる
$ = -\frac{2\pi r}r
$ =-2\pi
$ \therefore\bm\nabla^2\ln|\bm r|=-2\pi\delta(\bm r)