vectorの微分および積分演算表
記法の注意
行列積を$ \cdotで明記した
tensor積$ \otimesは略した
微分演算
積分演算
以下、$ \mathrm d\bm rは線素、$ \mathrm d\bm Sは面素、$ \mathrm dSは符号付き微小面積、$ \mathrm dVは体素とする
位置のパラメタは$ \bm rとする
$ \int_L(\bm\nabla\bm A)\cdot\mathrm d\bm r=\bm A(L_{end})-\bm A(L_{start})
$ \bm Aは0階以上の任意のtensor
$ \int_{\partial V}\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{S}=\int_V(\bm{\nabla}\cdot\bm{A})\mathrm{d}V
$ \bm{A}は1階以上の任意のtensor
「Gaussの定理」とよく呼ばれるが、「発散定理」のほうが名が体を表していてわかりやすいので、こちらで呼称する
系
$ \int_{\partial V}\phi\mathrm{d}\bm{S}=\int_V\bm{\nabla}\phi\mathrm{d}V
$ \int_{\partial V}\bm{A}\times\mathrm{d}\bm{S}=-\int_V(\bm{\nabla}\times\bm{A})\mathrm{d}V
$ \int_{\partial V}(\phi\bm{\nabla}\psi-\psi\bm{\nabla}\phi)\cdot\mathrm{d}\bm{S}=\int_V(\phi\Delta\psi-\psi\Delta\phi)\mathrm{d}V
2次元のとき
$ \int_{\partial S}\bm A\cdot(-\bm\epsilon\cdot\mathrm d\bm r)=\int_S\bm\nabla\cdot\bm A\mathrm dS
$ -\bm\epsilon\cdot\mathrm d\bm rは$ \mathrm d\bm rを時計回りに90℃回転させたvectorで、閉曲線$ \partial Sの外向き法線vectorを表す $ A_x(x+\mathrm dx,y)\mathrm dy-A_x\mathrm dy=\frac{\partial A_x}{\partial x}\mathrm dx\mathrm dy=\frac{\partial A_x}{\partial x}\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dS
$ \int_{\partial V}\bm T\mathrm d\bm S=\int_V\bm\nabla\bm T\mathrm dV=\int_V\bm T\overleftarrow{\bm\nabla}\mathrm dVなことに気づいた
これと$ \bm Iとを2重縮約すれば上記の発散定理が求まる
こちらにも名前を付けたい
$ \int_{\partial S}\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{r}=\int_S(\bm{\nabla}\times\bm{A})\cdot\mathrm{d}\bm{S}
$ \bm{A}は1階以上の任意のtensorで成り立つはず
系
$ \int_{\partial S}\phi\mathrm{d}\bm r=-\int_S\bm{\nabla}\phi\times\mathrm{d}\bm{S}
以下はどういう意味なのか全くわからんtakker.icon
$ \int_{\partial S}\bm{A}\times\mathrm{d}\bm{r}=-\int_S(\mathrm{d}\bm{S}\times\bm{\nabla})\times\bm{A}
こいつは特にやばい形をしている
微分の作用を無視して計算すると
$ \bm{A}\times(\mathrm{d}\bm{S}\times\bm{\nabla})
$ =2{\cal\pmb{W}}:\bm{A}\mathrm{d}\bm{S}\bm{\nabla}
$ =(\bm{A}\mathrm{d}\bm{S}-\mathrm{d}\bm{S}\bm{A})\cdot\bm{\nabla}
$ =\bm{A}\mathrm{d}\bm{S}\cdot\bm{\nabla}-\mathrm{d}\bm{S}\bm{A}\cdot\bm{\nabla}
なるほどね。となると、微分の作用を考慮すればおそらくこうなるはずtakker.icon
$ -(\mathrm{d}\bm{S}\times\bm{\nabla})\times\bm{A}=(\mathrm{d}\bm{S}\cdot\bm{\nabla})\bm{A}-(\bm{\nabla}\cdot\bm{A})\mathrm{d}\bm{S}
$ =((\bm{\nabla}\bm{A})^\top-(\bm{\nabla}\cdot\bm{A})\bm{I})\mathrm{d}\bm{S}
$ =((\bm{\nabla}\bm{A})^\top-\bm{I}\bm{I}:(\bm{\nabla}\bm{A}))\mathrm{d}\bm{S}
$ =(\tilde{\cal\pmb{I}}-\bm{I}\bm{I}):(\bm{\nabla}\bm{A})\mathrm{d}\bm{S}
2次元のとき
$ \int_{\partial S}\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{r}=\int_S\bm{\epsilon}:\bm{\nabla}\bm{A}\mathrm{d}S
$ \bm{A}は1階以上の任意のtensorで成り立つはず