スカラー発散定理

$ \int_{\partial \mathscr{V}}\phi\mathrm{d}\pmb{S}=\int_\mathscr{V}\pmb{\nabla}\phi\mathrm{d}V

$ \mathscr{V}は任意の体積領域

$ \mathrm{d}\pmb{S}は$ \partial\mathscr{V}上の微小面素vector

「勾配定理」と呼ぶらしい

発散定理から導出できる

導出

標準基底$ (\pmb{e}_0,\cdots,\pmb{e}_n)を使って一発で求められるようにした

$ \int_{\partial \mathscr{V}}\phi\mathrm{d}\pmb{S}=\sum_i\pmb{e}_i\int_{\partial \mathscr{V}}\phi\mathrm{d}\pmb{S}\cdot\pmb{e}_i

$ =\sum_i\pmb{e}_i\int_{\partial \mathscr{V}}\phi\pmb{e}_i\cdot\mathrm{d}\pmb{S}

$ =\sum_i\pmb{e}_i\int_\mathscr{V}\pmb{\nabla}\cdot(\phi\pmb{e}_i)\mathrm{d}V

ここで発散定理を使った

$ =\sum_i\pmb{e}_i\int_\mathscr{V}\pmb{e}_i\cdot\pmb{\nabla}\phi\mathrm{d}V

$ \pmb{e}_iは定数なので外に出せる

$ =\int_\mathscr{V}\sum_i(\pmb{e}_i\cdot\pmb{\nabla}\phi)\pmb{e}_i\mathrm{d}V

$ =\int_\mathscr{V}\pmb{\nabla}\phi\mathrm{d}V

$ \therefore \int_{\partial \mathscr{V}}\phi\mathrm{d}\pmb{S}=\int_\mathscr{V}\pmb{\nabla}\phi\mathrm{d}V

#2022-10-13 18:21:20 「スカラー発散定理」に名前変更

#2022-07-05 10:55:06 ページタイトルを「勾配版Gaussの定理」から「勾配定理」に変えた