3次元Greenの定理
$ \int_{\partial V}(\phi\pmb{\nabla}\psi-\psi\pmb{\nabla}\phi)\cdot\mathrm{d}\pmb{S}=\int_V(\phi\Delta\psi-\psi\Delta\phi)\mathrm{d}V
導出
$ \pmb\nabla\cdot(\phi\pmb\nabla\psi)=\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\phi\frac{\partial\psi}{\partial x_i}\right)=\pmb\nabla\phi\cdot\pmb\nabla\psi+\phi{\pmb\nabla}^2\psiー①
$ \int_V\pmb\nabla\cdot(\phi\pmb\nabla\psi)\mathrm{d}V=\int_{\partial V}\phi\pmb\nabla\psi\cdot\mathrm{d}\pmb Sー②
①と②より
$ \int_{\partial V}\phi\pmb\nabla\psi\cdot\mathrm{d}\pmb S=\int_V(\pmb\nabla\phi\cdot\pmb\nabla\psi+\phi{\pmb\nabla}^2\psi)\mathrm{d}Vー③
③の$ \phiと$ \psiを交換した式④を③から差し引いて、題意を得る
$ \int_{\partial V}\psi\pmb\nabla\phi\cdot\mathrm{d}\pmb S=\int_V(\pmb\nabla\psi\cdot\pmb\nabla\phi+\psi{\pmb\nabla}^2\phi)\mathrm{d}Vー④
$ \underline{③\land④\implies\int_{\partial V}(\phi\pmb\nabla\psi-\psi\pmb\nabla\phi)\cdot\mathrm{d}\pmb S=\int_V(\phi{\pmb\nabla}^2\psi-\psi{\pmb\nabla}^2\phi)\mathrm{d}V\quad}_\blacksquare