スカラー回転定理
takker.iconが適当に名付けた回転定理の系の一つ $ \int_{\partial S}\phi\mathrm{d}\bm{l}=-\int_S\bm{\nabla}\phi\times\mathrm{d}\bm{S}
導出
$ \bm\nabla\times(\phi\bm a)={\Large\bm\epsilon}:\bm\nabla(\phi\bm a)={\Large\bm\epsilon}:((\bm\nabla\phi)\bm{a})+\phi{\Large\bm\epsilon}:\bm\nabla\bm a=(\bm\nabla\phi)\times\bm a+\phi\bm\nabla\times\bm aを使う
$ \bm{a}=\rm const.な任意の$ \bm aについて、
$ \bm a\cdot\int_{\partial S}\phi\mathrm{d}\bm l=\int_{\partial S}\phi\bm a\cdot\mathrm{d}\bm l
$ =\int_S(\bm\nabla\times(\phi\bm a))\cdot\mathrm{d}\bm S
$ =\int_S(\bm\nabla\phi\times\bm a+\phi\bm\nabla\times\bm a)\cdot\mathrm{d}\bm S
$ =\int_S(\bm\nabla\phi\times\bm a)\cdot\mathrm{d}\bm S
$ \because\bm{a}=\rm const.より$ \bm\nabla\times\bm a=0
$ =-\int_S(\bm\nabla\phi\times\mathrm{d}\bm S)\cdot\bm a
$ =-\bm a\cdot\int_S(\bm\nabla\phi\times\mathrm{d}\bm S)
$ \because\bm{a}=\rm const.
$ \underline{\therefore\int_{\partial S}\phi\mathrm{d}\bm{l}=-\int_S\bm{\nabla}\phi\times\mathrm{d}\bm{S}\quad}_\blacksquare