Cross発散定理

$ \int_{\partial V}(\mathrm d\bm S\times\bm A)=\int_V(\bm{\nabla}\times\bm{A})\mathrm{d}V

導出

$ \int_{\partial V}(\mathrm d\bm S\times\bm A)=-\int_V\bm\nabla\cdot({\Large\bm\epsilon}\cdot\bm A)\mathrm{d}V

$ \because\mathrm d\bm S\times\bm A=\epsilon_{ijk}\mathrm dS_jA_{kl\cdots}\bm e_i\bm e_l\cdots

$ =-\mathrm dS_j\epsilon_{jik}A_{kl\cdots}\bm e_i\bm e_l\cdots

$ = -\mathrm d\bm S\cdot{\Large\bm\epsilon}\cdot\bm A

$ =\int_V\bm\nabla\times\bm A\mathrm{d}V

$ \because \bm\nabla\cdot({\Large\bm\epsilon}\cdot\bm A)=-{\Large\bm\epsilon}:\bm\nabla\bm A=\bm\nabla\times\bm A

左からかけると、添字の順番の都合で、太字記法だけで表現できなくなる

例

$ \bm A\times\mathrm d\bm S=\epsilon_{ijk}A_{\cdots j}\mathrm dS_k

$ =-A_{\cdots j}\epsilon_{jik}\mathrm dS_k

$ = -\bm A\cdot{\Large\bm\epsilon}\cdot\mathrm d\bm S

添字計算までは合ってる

太字表記が間違えている