Solenoidal場

発散が0のvector場のこと

$ \pmb{\nabla}\cdot\pmb{v}=0

回転の発散は0 ($ \pmb{\nabla}\cdot(\pmb{\nabla}\times\pmb{A})=0)だから、vector potential$ \pmb{A}からSolenoidal場の存在を示せる

もちろん逆も成り立つが、証明方法わからんtakker.icon

性質

vector場に沿って流線をとり、その流線が囲む流管を任意の2断面$ S_1,S_2で切る

流線というのは間違いだが、ともかく流線に相当するものを考えてくれればいい

電場なら電気力線、渦度なら渦線である

このとき$ \int_{S_1}\bm v\cdot\mathrm d\bm S+\int_{S_2}\bm v\cdot\mathrm d\bm S=0が成立する

また渦位保存則にも相当する

証明

$ \bm\nabla\cdot\bm v=0より$ \int_{\partial V}\bm v\cdot\mathrm d\bm S=\int_V\bm\nabla\cdot\bm v\mathrm dV=0

流管の側面は定義よりつねに$ \bm v\bot\mathrm d\bm Sなので面積分が0

結局$ S_1,S_2の面積分だけが残る