vectorの積分演算子
定義
from 『連続体の力学6 (ベクトル場の微分と積分) 』 p.275 - 281
Gibbs(1901)に基づく
potential$ {\rm pot}\bm J(\bm x):=\int_B\frac{\bm J(\bm\xi)}{|\bm x-\bm\xi|}\mathrm dV_{\bm\xi}
Newtonian$ {\rm New}\bm J(\bm x):=-\int_B\frac{{\rm sgn}(\bm x-\bm\xi)\bm J(\bm\xi)}{|\bm x-\bm\xi|^2}\mathrm dV_{\bm\xi}
Laplacian$ {\rm Lap}\bm J(\bm x):=-\int_B\frac{{\rm sgn}(\bm x-\bm\xi)\times\bm J(\bm\xi)}{|\bm x-\bm\xi|^2}\mathrm dV_{\bm\xi}
Maxwellian$ {\rm Max}\bm J(\bm x):=-\int_B\frac{{\rm sgn}(\bm x-\bm\xi)\cdot\bm J(\bm\xi)}{|\bm x-\bm\xi|^2}\mathrm dV_{\bm\xi}
$ \bm Jは任意階tensor
もうちっとわかりやすい記号にできないものかなtakker.icon
逆Laplacianとの関係
$ \nabla^{-2}\bm f=-\frac1{4\pi}{\rm pot}\bm f
$ \int_B\frac{\bm f(\bm\xi)}{|\bm x-\bm\xi|}\mathrm dV_{\bm\xi}\overleftarrow{\bm\nabla}=\int_B\frac{\bm f(\bm\xi)\overleftarrow{\bm\nabla}_{\bm\xi}}{|\bm x-\bm\xi|}\mathrm dV_{\bm\xi}-\int_{\partial B}\frac{\bm f(\bm\xi)}{|\bm x-\bm\xi|}\mathrm d\bm S_{\bm\xi}
$ \because\int_{\partial B}\frac{\bm f(\bm\xi)}{|\bm x-\bm\xi|}\mathrm d\bm S_{\bm\xi}=\int_B\frac{\bm f(\bm\xi)}{|\bm x-\bm\xi|}\overleftarrow{\bm\nabla}_{\bm\xi}\mathrm dV_{\bm\xi}
発散定理、というより一般化Gaussの定理とでも呼んだほうがいいか。それを使った。
$ =\int_B\frac{\bm f(\bm\xi)\overleftarrow{\bm\nabla}_{\bm\xi}}{|\bm x-\bm\xi|}\mathrm dV_{\bm\xi}+\int_B\bm f(\bm\xi)\left(\frac{1}{|\bm x-\bm\xi|}\right)\overleftarrow{\bm\nabla}_{\bm\xi}\mathrm dV_{\bm\xi}
$ =\int_B\frac{\bm f(\bm\xi)\overleftarrow{\bm\nabla}_{\bm\xi}}{|\bm x-\bm\xi|}\mathrm dV_{\bm\xi}-\int_B\bm f(\bm\xi)\left(\frac{1}{|\bm x-\bm\xi|}\right)\overleftarrow{\bm\nabla}_{\bm x}\mathrm dV_{\bm\xi}
$ \because \left(\frac{1}{|\bm x-\bm\xi|}\right)\overleftarrow{\bm\nabla}_{\bm\xi}=-\left(\frac{1}{|\bm x-\bm\xi|}\right)\overleftarrow{\bm\nabla}_{\bm x}
$ =\int_B\frac{\bm f(\bm\xi)\overleftarrow{\bm\nabla}_{\bm\xi}}{|\bm x-\bm\xi|}\mathrm dV_{\bm\xi}-\int_B\frac{\bm f(\bm\xi)}{|\bm x-\bm\xi|}\mathrm dV_{\bm\xi}\overleftarrow{\bm\nabla}_{\bm x}
逆Laplacian$ \nabla^{-2}を使うと
$ (\nabla^{-2}_B\bm f)\overleftarrow{\bm\nabla}=\nabla^{-2}_B\left(\bm f\overleftarrow{\bm\nabla}\right)+\frac1{4\pi}\int_{\partial B}\frac{\bm f(\bm\xi)}{|\bm x-\bm\xi|}\mathrm d\bm S_{\bm\xi}
$ \bm\nabla\nabla^{-2}_B\bm f=\nabla^{-2}_B\bm\nabla\bm f+\frac1{4\pi}\int_{\partial B}\mathrm d\bm S_{\bm\xi}\frac{\bm f(\bm\xi)}{|\bm x-\bm\xi|}
もし$ \bm fが有限領域にしか分布しないなら、それより大きい領域を$ Bとすれば$ \int_{\partial B}\frac{\bm f(\bm\xi)}{|\bm x-\bm\xi|}\mathrm d\bm S_{\bm\xi}=\bm0となる。
無限遠で$ \to\bm0になる場合も同様
そのような$ Bでは逆Laplacianとnablaに交換法則が成り立つ
$ (\nabla^{-2}_B\bm f)\overleftarrow{\bm\nabla}=\nabla^{-2}_B\left(\bm f\overleftarrow{\bm\nabla}\right)
Helmholtzの定理の証明を書き直す
$ \bm v(\bm x)=\bm\nabla^2\nabla^{-2}_B\bm v
$ = \bm\nabla(\bm\nabla\cdot\nabla^{-2}_B\bm v)-\bm\nabla\times(\bm\nabla\times\nabla^{-2}_B\bm v)
$ \because∇⨯(∇⨯a)=∇(∇∙a)-∇^2a
$ = \bm\nabla\left(\nabla^{-2}_B\bm\nabla\cdot\bm v+\frac1{4\pi}\int_{\partial B}\frac{\bm v(\bm\xi)}{|\bm x-\bm\xi|}\cdot\mathrm d\bm S_{\bm\xi}\right)+\bm\nabla\times\left(-\nabla^{-2}_B\bm\nabla\times\bm v+\frac1{4\pi}\int_{\partial B}\frac{\bm v(\bm\xi)}{|\bm x-\bm\xi|}\times\mathrm d\bm S_{\bm\xi}\right)
$ = \bm\nabla\left(\nabla^{-2}_B\bm\nabla\cdot\bm v\right)+\bm\nabla\times\left(-\nabla^{-2}_B\bm\nabla\times\bm v\right)+(\bm I\bm I+2{\cal\pmb W})\vdots\bm\nabla\frac1{4\pi}\int_{\partial B}\frac{\bm f(\bm\xi)}{|\bm x-\bm\xi|}\mathrm d\bm S_{\bm\xi}
$ \bm x\in Bを満たす$ \forall Bで成立
特に、$ \int_{\partial B}\frac{\bm f(\bm\xi)}{|\bm x-\bm\xi|}\mathrm d\bm S_{\bm\xi}=\bm0となる$ Bにて
$ \bm v= \bm\nabla\left(\nabla^{-2}_B\bm\nabla\cdot\bm v\right)+\bm\nabla\times\left(-\nabla^{-2}_B\bm\nabla\times\bm v\right)
他の演算子との関係
$ -\frac1{4\pi}{\rm New}\bm J(\bm x)=\bm\nabla\nabla^{-2}\bm J
$ -\frac1{4\pi}{\rm Lap}\bm J(\bm x)={\Large\bm\epsilon}:\bm\nabla\nabla^{-2}\bm J=\bm\nabla\times\nabla^{-2}\bm J
$ -\frac1{4\pi}{\rm Max}\bm J(\bm x)=\bm I:\bm\nabla\nabla^{-2}\bm J=\bm\nabla\cdot\nabla^{-2}\bm J
つまり、$ \rm Newの代わりに$ \bm\nabla\nabla^{-2}、$ \rm Lapの代わりに$ \bm\nabla\times\nabla^{-2}、$ {\rm Max}の代わりに$ \bm\nabla\cdot\nabla^{-2}を使えばいいのか
nablaとの逆変換
$ \bm\nabla^2\phi=c\iff\phi=\nabla^{-2}c
これはPoisson方程式の一般解を求めたことと等しい
$ \bm\nabla\cdot\bm v=\Theta\land\bm\nabla\times\bm v=\bm 0\iff\bm v=\bm\nabla\nabla^{-2}\Theta\land\bm\nabla\times\bm v=\bm 0
$ \nabla^{-2}\Thetaがscalar potentialに相当する
$ \bm\nabla\cdot\bm v=0\land\bm\nabla\times\bm v=\bm\Omega\iff\bm v=-\bm\nabla\times\nabla^{-2}\bm\Omega
$ \nabla^{-2}\bm\Omegaがvector potentialに相当する
$ \bm\nabla\cdot\bm v=\Theta\land\bm\nabla\times\bm v=\bm\Omega\iff\bm v= \bm\nabla\nabla^{-2}_B\Theta-\bm\nabla\times\nabla^{-2}_B\bm\Omega
下3つは$ \int_{\partial B}\frac{\bm f(\bm\xi)}{|\bm x-\bm\xi|}\mathrm d\bm S_{\bm\xi}=\bm0の場合に限る
ほとんどの物理現象で成立するので、あまり気にしなくてもいい
例
万有引力の法則
$ \bm G=-\int_BG\frac{\rho(\bm\xi)}{|\bm x-\bm\xi|^2}{\rm sgn}(\bm x-\bm\xi)\mathrm dV_{\bm\xi}
$ = -4\pi G\bm\nabla\nabla^{-2}\rho
$ \bm xで発生する重力場
$ \bm xでの重力potential
$ \phi=\int_BG\frac{\rho(\bm\xi)}{|\bm x-\bm\xi|}\mathrm dV_{\bm\xi}
$ =-4\pi G\nabla^{-2}\rho
$ \bm\nabla\phi=\bm G
$ \bm\nabla^2\phi=\int_BG\rho(\bm\xi)\bm\nabla^2\frac{1}{|\bm x-\bm\xi|}\mathrm dV_{\bm\xi}
$ = -4\pi G\rho(\bm x)
$ \bm\nabla^2\phi=-4\pi G\rho(\bm x)\iff\phi=-4\pi G\nabla^{-2}\rho
$ \bm\nabla\cdot\bm G=-4\pi G\rho(\bm x)\iff\bm G=-4\pi G\bm\nabla\nabla^{-2}\rho
#2024-02-08 16:10:50