弾性体におけるNavierの運動方程式

$ \rho\frac{\mathrm D\bm v}{\mathrm Dt}=\bm\nabla\cdot(\lambda_1(\mathrm{tr}\bm\varepsilon)\bm I+2G\bm\varepsilon)+\rho\bm b

$ =\lambda_1\bm\nabla(\mathrm{tr}\bm\varepsilon)+2G\bm\nabla\cdot\bm\varepsilon+\rho\bm b

$ =\lambda_1\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm u)+G\bm\nabla\cdot(\bm\nabla\bm u+(\bm\nabla\bm u)^\top)+\rho\bm b

$ =\lambda_1\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm u)+G\bm\nabla^2\bm u+G\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm u)+\rho\bm b

$ =G\bm\nabla^2\bm u+(G+\lambda_1)\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm u)+\rho\bm b