弾性体におけるNavierの運動方程式

$ \rho\frac{\mathrm D\bm v}{\mathrm Dt}=\bm\nabla\cdot(\lambda(\mathrm{tr}\bm\varepsilon)\bm I+2G\bm\varepsilon)+\rho\bm b

$ =\lambda\bm\nabla(\mathrm{tr}\bm\varepsilon)+2G\bm\nabla\cdot\bm\varepsilon+\rho\bm b

$ =\lambda\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm u)+G\bm\nabla\cdot(\bm\nabla\bm u+(\bm\nabla\bm u)^\top)+\rho\bm b

$ =\lambda\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm u)+G\bm\nabla^2\bm u+G\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm u)+\rho\bm b

$ =G\bm\nabla^2\bm u+(G+\lambda)\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm u)+\rho\bm b

体積弾性率$ Kを使うと$ \lambda=\frac13(3K-2G)より、

$ \rho\frac{\mathrm D\bm v}{\mathrm Dt}=G\bm\nabla^2\bm u+\frac{3K-2G+3G}{3}\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm u)+\rho\bm b

$ =G\bm\nabla^2\bm u+\frac{3K+G}{3}\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm u)+\rho\bm b

$ =G\bm\nabla^2\bm u+\left(K+\frac13G\right)\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm u)+\rho\bm b

P波速度$ \alphaとS波速度$ \betaを使った変形

$ \beta:=\sqrt\frac{G}{\rho}

$ \alpha:=\sqrt{\frac{\lambda+2G}{\rho}}

$ =\sqrt{\frac{\frac{3K-2G+6G}{3}}{\rho}}

$ =\sqrt{\frac{K+\frac43G}{\rho}}

$ K,Gで求解すると

$ G=\rho\beta^2

$ K=\rho\alpha^2-\frac43G=\rho\left(\alpha^2-\frac43\beta^2\right)

$ \implies K+\frac13G=\rho(\alpha^2-\beta^2)

変形

$ \rho\frac{\mathrm D\bm v}{\mathrm Dt}=\rho\beta^2\bm\nabla^2\bm u+\rho(\alpha^2-\beta^2)\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm u)+\rho\bm b

$ \iff\frac{\mathrm D\bm v}{\mathrm Dt}=\beta^2\bm\nabla^2\bm u+(\alpha^2-\beta^2)\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm u)+\bm b

$ =\beta^2\bm\nabla^2\bm u+(\alpha^2-\beta^2)(\bm\nabla\times\bm\nabla\times\bm u+\bm\nabla^2\bm u)+\bm b

$ =\alpha^2(\bm\nabla\times\bm\nabla\times\bm u+\bm\nabla^2\bm u)-\beta^2\bm\nabla\times\bm\nabla\times\bm u+\bm b

$ \lambda\simeq Gなpoissonian(ポアソン固体)のとき、$ \frac\alpha\beta=\sqrt3になるので、ここからP波速度とS波速度の違いが求まる

慣性項$ \bm v\cdot\bm\nabla\bm v\approx0としたときの式を地震波動方程式(seismic wave equation)ともいう？takker.icon