連続体の運動方程式
空間表示
$ \rho\frac{\mathrm{D}\bm{v}}{\mathrm{D}t}=\bm{\nabla}\cdot\bm{\sigma}+\bm k
物質表示
その1: $ \tilde\rho J\ddot\bm\phi=\bm P\cdot\overleftarrow\bm\nabla+J\bm K
$ \tilde\rho:=\left.\rho\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}
$ \bm F:=\bm\phi\overleftarrow{\bm\nabla}：変形勾配tensor $ \bm K:=\left.\bm k\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}
その2: $ \tilde\rho\ddot\bm\phi\cdot\bm F=\left.\bm\sigma\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\overleftarrow\bm\nabla+\bm K\cdot\bm F
圧縮性、非定常含めた全ての状態を表せる
流体の運動方程式をはじめとする、構造力学や流体力学における各種の運動方程式は、この方程式の外力項$ \bm{\nabla}\cdot\bm{\sigma}+\bm kを具体的に決定することで導出される この式にデファクトスタンダードとなる名前は存在しなさそう
派生式
積分形
$ \int_V\frac{\partial\rho\pmb{v}}{\partial t}\mathrm{d}v+\int_{\partial V}\rho\pmb{v}\pmb{v}\cdot\mathrm{d}\pmb{a}=\int_V\pmb{K}\mathrm{d}v+\int_{\partial V}\pmb{\sigma}\cdot\mathrm{d}\pmb{a}
左辺第2項は、領域を通過する運動量束の総和に相当する $ \frac{\partial}{\partial t}\int_{B_t}\frac12\rho|\bm v|^2\mathrm dv+\int_{B_t}\bm\sigma:\bm d\mathrm dv=\int_{\partial B_t}\bm v\cdot\bm\sigma\cdot\mathrm d\bm a+\int_{B_t}\bm K\cdot\bm v\mathrm dv
微分系
$ \rho\frac{\mathrm D}{\mathrm Dt}\left(\frac12|\bm v|^2\right)+\bm\sigma:\bm d=\bm\nabla\cdot(\bm\sigma\cdot\bm v)+\bm K\cdot\bm v
$ \pmb{\nabla}\timesをとる
回転 (vector解析)の各種演算の$ \pmb{a}\times(\pmb{\nabla}\times\pmb{a})=\pmb{\nabla}\left(\frac12|\pmb{a}|^2\right)-(\pmb{a}\cdot\pmb{\nabla})\pmb{a}を使って変形すると $ \frac{\partial\pmb v}{\partial t}+\pmb\nabla\left(\frac12|\pmb v|^2\right)=\pmb v\times\pmb\nabla\times\pmb v+\frac{\pmb K}\rho+\frac{\pmb\nabla\cdot\pmb\sigma}\rho
発散をとると
$ \implies\frac{\partial\pmb\nabla\cdot\pmb v}{\partial t}+\pmb\nabla^2\left(\frac12|\pmb v|^2\right)=\pmb\nabla\cdot(\pmb v\times\pmb\nabla\times\pmb v)+\pmb\nabla\frac1\rho\cdot(\pmb K+\pmb\nabla\cdot\pmb\sigma)+\frac1\rho(\pmb\nabla\cdot\pmb K+\pmb\nabla\cdot\pmb\nabla\cdot\pmb\sigma)
うーん、一般的に何かがわかるわけじゃあないか
座標変換