流体の圧力が満たすべき方程式
非圧縮性流れにて圧力は以下のPoisson方程式を満たす
$ \pmb\nabla^2\frac p\rho=\pmb\nabla\cdot(\pmb v\times\pmb\omega)-\pmb\nabla^2\left(\Pi+\frac12|\pmb v|^2\right)
$ \pmb\omega:=\pmb\nabla\times\pmb v：渦度 $ \Pi：外力potentialを密度で割ったもの
導出
$ \frac{\partial\pmb v}{\partial t}+\pmb\nabla B=\pmb v\times\pmb\nabla\times\pmb v+(\lambda/\rho+\nu)\pmb\nabla(\pmb\nabla\cdot\pmb v)+\nu\pmb\nabla^2\pmb vー☆
$ ☆\implies\frac{\partial\pmb\nabla\cdot\pmb v}{\partial t}+\pmb\nabla^2 B=\pmb\nabla\cdot(\pmb v\times\pmb\nabla\times\pmb v)+(\lambda/\rho+\nu)\pmb\nabla^2(\pmb\nabla\cdot\pmb v)+\nu\pmb\nabla^2(\pmb\nabla\cdot\pmb v)
発散をとる
$ \iff \pmb\nabla^2\frac p\rho=\pmb\nabla\cdot(\pmb v\times\pmb\omega)-\pmb\nabla^2\left(\Pi+\frac12|\pmb v|^2\right)-\frac{\partial\pmb\nabla\cdot\pmb v}{\partial t}+(\lambda/\rho+2\nu)\pmb\nabla^2(\pmb\nabla\cdot\pmb v)
Bernoulli函数$ B=\Pi+\frac p\rho+\frac12|\pmb v|^2から圧力項$ \frac p\rhoを分離した もし非圧縮性流れなら、$ \pmb\nabla\cdot\pmb v=0だから $ \underline{\pmb\nabla^2\frac p\rho=\pmb\nabla\cdot(\pmb v\times\pmb\omega)-\pmb\nabla^2\left(\Pi+\frac12|\pmb v|^2\right)\quad}_\blacksquare
となる。
この式からわかること
非圧縮性なら、境界における圧力変化は瞬時に流体場全体に及ぶ
2024-04-19 00:20:24 違う。圧縮性は無関係。定常流れなのが重要