流体の圧力が満たすべき方程式

非圧縮性流れにて圧力は以下のPoisson方程式を満たす

$ \pmb\nabla^2\frac p\rho=\pmb\nabla\cdot(\pmb v\times\pmb\omega)-\pmb\nabla^2\left(\Pi+\frac12|\pmb v|^2\right)

導出

$ ☆\implies\frac{\partial\pmb\nabla\cdot\pmb v}{\partial t}+\pmb\nabla^2 B=\pmb\nabla\cdot(\pmb v\times\pmb\nabla\times\pmb v)+(\lambda/\rho+\nu)\pmb\nabla^2(\pmb\nabla\cdot\pmb v)+\nu\pmb\nabla^2(\pmb\nabla\cdot\pmb v)

発散をとる

$ \iff \pmb\nabla^2P=\pmb\nabla\cdot(\pmb v\times\pmb\omega)-\pmb\nabla^2\left(\Pi+\frac12|\pmb v|^2\right)-\frac{\partial\pmb\nabla\cdot\pmb v}{\partial t}+(\lambda/\rho+2\nu)\pmb\nabla^2(\pmb\nabla\cdot\pmb v)

$ \underline{\pmb\nabla^2\frac p\rho=\pmb\nabla\cdot(\pmb v\times\pmb\omega)-\pmb\nabla^2\left(\Pi+\frac12|\pmb v|^2\right)\quad}_\blacksquare

となる。

この式からわかること

非圧縮性なら、境界における圧力変化は瞬時に流体場全体に及ぶ