Bernoulliの定理の導出
一般的な方法
条件
$ \rho=\rho(p)ー①
外力がpotentialを持つ
$ \pmb{f}=-\pmb{\nabla}\phiー②
$ \frac{\partial\pmb{v}}{\partial t}=0ー③
導出
準備
完全流体の運動方程式に②を入れる
$ \frac{\partial\pmb{v}}{\partial t}+\pmb{v}\cdot\pmb{\nabla}\pmb{v}=-\frac1{\rho(p)}\pmb\nabla p-\pmb\nabla\phi
①のとき、圧力函数$ P(p):=\int\frac1{\rho(p)}\mathrm{d}pを用いて $ \frac1\rho\pmb\nabla p=\pmb\nabla P
と表せることを使うと
$ \frac{\partial\pmb{v}}{\partial t}+\pmb{v}\cdot\pmb{\nabla}\pmb{v}+\pmb\nabla(P+\phi)=0ー☆
となる。
$ \iff \frac{\partial\pmb{v}}{\partial t}+\pmb{v}\cdot\pmb{\nabla}\pmb{v}+\pmb v\times\pmb\nabla\times\pmb v+\pmb\nabla(P+\phi)=\pmb v\times\pmb\nabla\times\pmb v
$ \iff \frac{\partial\pmb{v}}{\partial t}+\pmb\nabla\left(\frac12|\pmb v|^2+P+\phi\right)=\pmb v\times\pmb\nabla\times\pmb vー④
$ ④\implies\frac\partial{\partial t}\left(\frac12|\pmb v|^2\right)+\pmb v\cdot\pmb\nabla\left(\frac12|\pmb v|^2+P+\phi\right)+0=0
$ \pmb v\cdotをかけた
③が成り立つなら、$ \pmb v方向微分が0になるから、任意の流線で$ \frac12|\pmb v|^2+P+\phi=\rm Const.になる $ ④\implies\pmb\nabla\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}+\frac12|\pmb v|^2+P+\phi\right)=0
$ \pmb\nablaと$ \frac{\partial}{\partial t}の順序は交換できる
$ \underline{\iff \frac{\partial\psi}{\partial t}+\frac12|\pmb v|^2+P+\phi=f(t)\quad\text{.for }\exist f\quad}_\blacksquare
potential流れでしか成立しないが、任意の空間かつ非定常流れでも通用するのが特徴 1次元の場合
$ \gdef\pdif#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}\pdif{v_s}{t}+v_s\pdif{v_s}{s}+\frac{1}{\rho}\pdif{P}{s}+g\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s}=0
定常流れの場合、$ \gdef\pdif#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}\pdif{v_s}{t}=0\land\pdif{P}{t}=0だから $ \gdef\dif#1#2{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}}v_s\dif{v_s}{s}+\frac1\rho\dif{P}{s}+g\dif{z}{s}=0
すべて$ sの函数とみなせるので、偏微分を常微分にできる
$ \iff \gdef\d{\mathrm{d}}v_s\d v_s+\frac1\rho\d P+g\d z=0
$ \iff \frac12{v_s}^2+\frac{P}{\rho}+gz=\rm const.
$ \underline{\therefore \frac12\rho{v_s}^2+P+\rho gz=\rm const.}_\blacksquare
https://gyazo.com/475f0823a5a2be2e36a6c4fefb0da5b7/raw#.png
$ \underbrace{\frac12\rho{v_s}^2}_{動圧}+\underbrace{P}_{静圧}+\underbrace{\rho gz}_{\rm potential\ energy密度}=\rm const.=:\underbrace{P_t}_{全圧}
後者の正式名称はよくわからなかった
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