流線曲率の定理 - くたくたじゅうよん

流線曲率の定理

Bernoulliの定理とペアで導出される、異なる流線間の関係について述べた定理

$ \frac{\partial}{\partial r}(P+\phi)=\frac{|\bm v|^2}{r}

$ r：位置$ \bm xにおける流線の曲率半径

$ P：$ \bm xにおける圧力函数

$ \phi：$ \bm xにおけるpotential (e.g. $ \rho\bm g\cdot\bm x)

$ \bm v：$ \bm xにおける流速(空間速度)

流線の曲率と圧力勾配

流線曲率の定理 - Wikipedia

導出

Bernoulliの定理の導出☆から出発する

$ \frac{\partial\bm{v}}{\partial t}+\bm{v}\cdot\bm{\nabla}\bm{v}+\bm\nabla(P+\phi)=0ー☆

定常流れのみを扱うので、非定常項をなくす

$ \bm{v}\cdot\bm{\nabla}\bm{v}+\bm\nabla(P+\phi)=0

ここから、ある流線のみに着目する。

流線を弧長パラメタ$ sでパラメタ表示した函数$ s\mapsto\bm r(s)で表し、Frenet-Serret標構$ (\bm e_s,\bm e_n,\bm e_b)(正規直交基底)を使って成分分解する

$ \iff\left.\left(\bm v\cdot\bm\nabla\bm v+\bm\nabla(P+\phi)\right)\right|_{\bm x=\bm r(s)+n\bm e_n}=0\quad\text{.for }\forall s,n

$ nは流線以外の位置を取得するためのダミーパラメタ

$ \iff\left.\left(\bm v\cdot\bm\nabla\bm v+(\bm e_s\bm e_s+\bm e_b\bm e_b)\cdot\bm\nabla(P+\phi)\right)\right|_{\bm x=\bm r(s)+n\bm e_n}+\bm e_n\bm e_n\cdot\left.\bm\nabla(P+\phi)\right|_{\bm x=\bm r(s)+n\bm e_n}=0\quad\text{.for }\forall s,n

$ \iff\left.\left(\bm v\cdot\bm\nabla\bm v+(\bm e_s\bm e_s+\bm e_b\bm e_b)\cdot\bm\nabla(P+\phi)\right)\right|_{\bm x=\bm r(s)+n\bm e_n}+\bm e_n\frac{\partial}{\partial n}P(\bm r(s)+n\bm e_n)=0\quad\text{.for }\forall s,n

$ \because\frac{\partial}{\partial n}\bm f(\bm r(s)+n\bm e_n)=\frac{\partial}{\partial n}(\bm r(s)+n\bm e_n)\cdot\left.\bm\nabla\bm f\right|_{\bm x=\bm r(s)+n\bm e_n}=\bm e_n\cdot\left.\bm\nabla\bm f\right|_{\bm x=\bm r(s)+n\bm e_n}

$ \iff\left.\left(\bm v\cdot\bm\nabla\bm v+(\bm e_s\bm e_s+\bm e_b\bm e_b)\cdot\bm\nabla(P+\phi)\right)\right|_{\bm x=\bm r(s)}+\bm e_n\left.\frac{\partial}{\partial n}P(\bm r(s)+n\bm e_n)\right|_{n=0}=0\quad\text{.for }\forall s

$ nの出番はここで終了

$ \left.\frac{\partial}{\partial n}P(\bm r(s)+n\bm e_n)\right|_{n=0}ってただの方向微分じゃんtakker.icon

ダミーパラメタだのなんだのと考える必要なかった

普通に$ \bm e_n\cdot\bm\nablaで十分だった

$ \iff\left.\left(\bm v\cdot\bm\nabla\bm v+\bm e_s\bm e_s\cdot\bm\nabla(P+\phi)\right)\right|_{\bm x=\bm r(s)}+\bm e_n\left.\frac{\partial}{\partial n}P(\bm r(s)+n\bm e_n)\right|_{n=0}+\bm e_b\left.\frac{\partial}{\partial b}P(\bm r(s)+b\bm e_b)\right|_{b=0}=0\quad\text{.for }\forall s

$ \iff\left.\left(|\bm v_s|\bm e_s\cdot\bm\nabla\bm v+\bm e_s\bm e_s\cdot\bm\nabla(P+\phi)\right)\right|_{\bm x=\bm r(s)}+\bm e_n\left.\frac{\partial}{\partial n}P(\bm r(s)+n\bm e_n)\right|_{n=0}+\bm e_b\left.\frac{\partial}{\partial b}P(\bm r(s)+b\bm e_b)\right|_{b=0}=0\quad\text{.for }\forall s

$ \because\bm v_s=|\bm v_s|\bm e_s

$ \bm f(\bm r(s))=:\bm f_sと略記する

$ \iff\left(|\bm v_s|\frac{\mathrm d\bm v_s}{\mathrm ds}+\bm e_s\frac{\mathrm d}{\mathrm ds}(P_s+\phi_s)\right)+\bm e_n\left.\frac{\partial}{\partial n}P(\bm r(s)+n\bm e_n)\right|_{n=0}+\bm e_b\left.\frac{\partial}{\partial b}P(\bm r(s)+b\bm e_b)\right|_{b=0}=0\quad\text{.for }\forall s

$ \iff\left(|\bm v_s|^2\bm e_s'+\bm e_s\frac{\mathrm d}{\mathrm ds}\left(\frac12|\bm v_s|^2\right)+\bm e_s\frac{\mathrm d}{\mathrm ds}(P_s+\phi_s)\right)+\bm e_n\left.\frac{\partial}{\partial n}P(\bm r(s)+n\bm e_n)\right|_{n=0}+\bm e_b\left.\frac{\partial}{\partial b}P(\bm r(s)+b\bm e_b)\right|_{b=0}=0\quad\text{.for }\forall s

$ \iff\left(\kappa|\bm v_s|^2\bm e_n+\bm e_s\frac{\mathrm d}{\mathrm ds}\left(\frac12|\bm v_s|^2\right)+\bm e_s\frac{\mathrm d}{\mathrm ds}(P_s+\phi_s)\right)+\bm e_n\left.\frac{\partial}{\partial n}P(\bm r(s)+n\bm e_n)\right|_{n=0}+\bm e_b\left.\frac{\partial}{\partial b}P(\bm r(s)+b\bm e_b)\right|_{b=0}=0\quad\text{.for }\forall s

$ \iff\begin{dcases}\frac{\mathrm d}{\mathrm ds}\left(\frac12|\bm v_s|^2+P_s+\phi_s\right)=0\\\kappa|\bm v_s|^2+\left.\frac{\partial}{\partial n}P(\bm r(s)+n\bm e_n)\right|_{n=0}=0\\0=\left.\frac{\partial}{\partial b}P(\bm r(s)+b\bm e_b)\right|_{b=0}\end{dcases}\\\text{.for }\forall b

$ \underline{\iff\begin{dcases}\frac12|\bm v_s|^2+P_s+\phi_s={\rm const.}\\\kappa|\bm v_s|^2+\left.\frac{\partial}{\partial n}P(\bm r(s)+n\bm e_n)\right|_{n=0}=0\\0=\left.\frac{\partial}{\partial b}P(\bm r(s)+b\bm e_b)\right|_{b=0}\end{dcases}\quad}_\blacksquare

第1式：Bernoulliの定理

第2式：流線曲率の定理

$ \bm r(s)での$ -\bm e_n(s)方向の圧力函数勾配は、単位体積単位質量あたりの遠心力$ \kappa|\bm v_s|^2に等しい

曲がりが強いほど、曲率中心方向に圧力が下がるということ

第3式：流線上の従法線vector方向の圧力函数勾配はどこも0

つまり、圧力函数は流線上にて従法線方向に極値か変曲点をとる

流線は緻密に詰め込まれているはずだから、つまり従法線方向に圧力変化しないと捉えてもいい？takker.icon

$ \iff|\bm v(\bm r(s)+n\bm e_n)|\frac{\partial}{\partial s}(\bm v(\bm r(s)+n\bm e_n))+n|\bm v|(\kappa\bm e_s-\tau\bm e_b)\cdot\left.\bm\nabla\bm f(\bm x)\right|_{\bm x=\bm r(s)+n\bm e_n}+\left.\bm\nabla(P+\phi)\right|_{\bm x=\bm r(s)+n\bm e_n}=0

$ \because\frac{\partial\bm f(\bm r(s)+n\bm e_n)}{\partial s}=\frac{\partial}{\partial s}(\bm r(s)+n\bm e_n)\cdot\left.\bm\nabla\bm f(\bm x)\right|_{\bm x=\bm r(s)+n\bm e_n}=(\bm e_s-n\kappa\bm e_s+n\tau\bm e_b)\cdot\left.\bm\nabla\bm f(\bm x)\right|_{\bm x=\bm r(s)+n\bm e_n}

$ \iff(1-n\kappa)\bm e_s\cdot\left.\bm\nabla\bm f(\bm x)\right|_{\bm x=\bm r(s)+n\bm e_n}=\frac{\partial\bm f(\bm r(s)+n\bm e_n)}{\partial s}-n\tau\bm e_b\cdot\left.\bm\nabla\bm f(\bm x)\right|_{\bm x=\bm r(s)+n\bm e_n}

$ \iff\bm e_s\cdot\left.\bm\nabla\bm f(\bm x)\right|_{\bm x=\bm r(s)+n\bm e_n}=\frac1{1-n\kappa}\frac{\partial\bm f(\bm r(s)+n\bm e_n)}{\partial s}-\frac{n\tau}{1-n\kappa}\bm e_b\cdot\left.\bm\nabla\bm f(\bm x)\right|_{\bm x=\bm r(s)+n\bm e_n}

$ \bm e_b\cdot\bm\nabla=(\bm e_n'+\kappa\bm e_s)\cdot\bm\nabla

$ \bm e_n'\cdot\bm\nablaを解決できないか……

そうとう面倒なことになってしまったtakker.icon

$ \bm a(\bm r(s)+n\bm e_n)\cdot\bm e_\bullet=:a_\bulletと略記すると、

$ \left.\bm v\cdot\bm\nabla\bm v\right|_{\bm x=\bm r(s)+n\bm e_n}=\frac{v_s}{1-n\kappa}\frac{\partial\bm v(\bm r(s)+n\bm e_n)}{\partial s}-\frac{v_sn\tau}{1-n\kappa}\bm e_b\cdot\left.\bm\nabla\bm v(\bm x)\right|_{\bm x=\bm r(s)+n\bm e_n}

$ +v_n\frac{\partial}{\partial n}\bm v(\bm r(s)+n\bm e_n)

$ +v_b\bm e_b\cdot\left.\bm\nabla\bm v(\bm x)\right|_{\bm x=\bm r(s)+n\bm e_n}

$ =\frac{v_s}{1-n\kappa}\frac{\partial\bm v(\bm r(s)+n\bm e_n)}{\partial s}+\frac{v_b-n(v_b\kappa+v_s\tau)}{1-n\kappa}\bm e_b\cdot\left.\bm\nabla\bm v(\bm x)\right|_{\bm x=\bm r(s)+n\bm e_n}

$ +v_n\frac{\partial}{\partial n}\bm v(\bm r(s)+n\bm e_n)

$ \bm e_s\cdot\left.\bm\nabla P\right|_{\bm x=\bm r(s)}=\frac{\mathrm dP(\bm r(s))}{\mathrm ds}

$ \bm e_n\cdot\left.\bm\nabla P\right|_{\bm x=\bm r(s)}=\frac1\kappa\bm e_s'\cdot\left.\bm\nabla P\right|_{\bm x=\bm r(s)}

$ \bm e_n\cdot\left.\bm\nabla P\right|_{\bm x=\bm r(s)+n\bm e_n}=\frac{\partial P(\bm r(s)+n\bm e_n)}{\partial n}

$ {\rm sgn}\bm v(\bm r(s))=\bm e_s={\rm sgn}\bm r'(s)

別のアプローチを使うか？

空間表示で任意の流線を特定する

$ \mathfrak r:(\bm x,t)\mapsto(s\mapsto\bm r(s))

いや、それをしても仕方ないか……

$ \bm e_s\cdot\left.\bm\nabla\bm f\right|_{\bm x=n\bm e_s}=\frac{\partial P(n\bm e_s)}{\partial n}

$ \bm e_n\cdot\left.\bm\nabla P\right|_{\bm x=\bm r(s)}=\frac1\kappa\bm e_s'\cdot\left.\bm\nabla P\right|_{\bm x=\bm r(s)}

$ = \frac1\kappa\frac{\mathrm d}{\mathrm ds}\left(\bm e_s\cdot\left.\bm\nabla P\right|_{\bm x=\bm r(s)}\right)-\frac1\kappa\bm e_s\cdot\frac{\mathrm d}{\mathrm ds}\left(\left.\bm\nabla P\right|_{\bm x=\bm r(s)}\right)

$ = \frac1\kappa\frac{\mathrm d^2P(\bm r(s))}{{\mathrm ds}^2}-\frac1\kappa\left.\bm\nabla\bm\nabla P\right|_{\bm x=\bm r(s)}:\bm e_s\bm e_s

積の積分でもだめか……

そう言えば、$ nの代わりに曲率半径$ R:=\frac1\kappaを使えるのでは？

$ \kappa=\bm e_s'\cdot\bm e_n

曲率中心が$ 0, 流線上が$ Rとなるようなパラメタを作ればいい

16:45:32 そうだ、流線曲率の定理もどのみち最後は$ n=0するんだ

流線上の物理量しか求めない

$ nはあくまで流線に直交する方向の取り扱うのに必要なだけで、必要な値の位置はすべて流線上にあるから、最終的に$ n=0になる

$ \iff\begin{dcases}\left.\left(|\bm v|^2\frac{\mathrm d\bm e_s}{\mathrm ds}+\frac{\mathrm d}{\mathrm ds}\left(\frac12|\bm v(\bm r(s))|^2\right)\bm e_s+\bm\nabla(P+\phi)\right)\right|_{\bm x=\bm r(s)}=0\\|\bm v(\bm r(s)+n\bm e_n)|\frac{\partial}{\partial s}(\bm v(\bm r(s)+n\bm e_n))+n|\bm v|(\kappa\bm e_s-\tau\bm e_b)\cdot\left.\bm\nabla\bm f(\bm x)\right|_{\bm x=\bm r(s)+n\bm e_n}+\left.\bm\nabla(P+\phi)\right|_{\bm x=\bm r(s)+n\bm e_n}=0\end{dcases}

第2式に$ n=0を代入して第1式を得た

2024-10-10 15:06:08 $ \frac\partial{\partial s}を作るところで詰まってしまったtakker.icon

$ \bm x=\bm r(s)とすれば、流線上の物理量しか考慮できなくなる

流線曲率の定理を求めるには、流線$ \bm r(s)から外れた位置の$ P,\phiが必要

しかし、$ \bm x=\bm r(s)+n\bm e_nだと今度は流速をうまく計算できなくなる

$ \bm v(\bm r(s))=|\bm v(\bm r(s))|\bm e_sだが、$ \bm v(\bm r(s)+n\bm e_n)はこれ以上書き換えられない

15:21:10 いやまって……もしかしたらきれいに余計な項が消えてくれるかも

15:35:33 いややっぱ無理そう

$ \iff \kappa|\bm v_s|^2\bm e_n+\frac{\partial}{\partial s}\left(\frac12|\bm v_s|^2\right)\bm e_s+\bm\nabla(P+\phi)_s=0

$ \because\mathrm d\begin{pmatrix}\bm e_s\\\bm e_n\\\bm e_b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&\kappa&0\\-\kappa&0&\tau\\0&-\tau&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\bm e_s\\\bm e_n\\\bm e_b\end{pmatrix}\mathrm dsより$ \frac{\mathrm d\bm e_s}{\mathrm d s}=\kappa\bm e_n

逆に解くのは無理

$ \bm e_s=-\frac1\kappa\bm e_n'+\tau\bm e_s\times\bm e_n

$ \bm e_n=\frac 1\kappa\bm e_s'

$ \bm e_b:=\bm e_s\times\bm e_n

流石に見づらいので、$ \bm f(\bm r(s))=:\bm f_sと略記する

$ \kappa：曲率

$ \iff\begin{dcases}\frac{\partial}{\partial s}\left(\frac12|\bm v|_s^2+P_s+\phi_s\right)=0\\\kappa|\bm v_s|^2+\frac{\partial}{\partial n}\left(\left.(P+\phi)\right|_{\bm x=\bm r(s)+n\bm e_n}\right)=0\end{dcases}

$ n：流線上の位置$ sから、主法線vector$ \bm e_nの方向への距離

うーん？おかしいな

第2項の式が間違っているが、どう書けばいいかわかってないtakker.icon

$ \frac{\partial}{\partial n}P(\bm r(s)+n\bm e_n)=\frac{\partial}{\partial n}(\bm r(s)+n\bm e_n)\cdot\left.\bm\nabla P\right|_{\bm x=\bm r(s)+n\bm e_n}=\bm e_n\cdot\left.\bm\nabla P\right|_{\bm x=\bm r(s)+n\bm e_n}

なるほど。つまり最初に$ \bm x=\bm r(s)ではなく、$ \bm x=\bm r(s)+n\bm e_nとすればいいのか

$ \iff \begin{dcases}\frac12|\bm v|^2+P+\phi={\rm const.}\\\kappa|\bm v|^2+\frac{\partial}{\partial n}(P+\phi)=0\end{dcases}

第1式がBernoulliの定理、第2式が流線曲率の定理に相当する

$ nを曲率半径$ r:=\frac1\kappa=-nで書き換えると、↓となる

$ \underline{\therefore\frac{\partial}{\partial r}(P+\phi)=\frac{|\bm v|^2}{r}}

パラメタの代入方法に気づくまでのメモ

ここから、ある流線のみに着目する。

流線を$ sでパラメタ表示した函数$ s\mapsto\bm r(s)で表し、Frenet-Serret標構$ (\bm e_s,\bm e_n,\bm e_b)(正規直交基底)を使って成分分解する

$ \iff\left.\left(|\bm v|\bm e_s\cdot\bm\nabla(|\bm v|\bm e_s)+\bm\nabla(P+\phi)\right)\right|_{\bm x=\bm r(s)}=0

$ \iff\left.\left(|\bm v|\frac{\mathrm d}{\mathrm ds}(|\bm v|\bm e_s)+\bm\nabla(P+\phi)\right)\right|_{\bm x=\bm r(s)}=0

$ \because\bm e_s\cdot\left.\bm\nabla\bm f(\bm x)\right|_{\bm x=\bm r(s)}=\frac{\mathrm d\bm r}{\mathrm ds}\cdot\left.\bm\nabla\bm f(\bm x)\right|_{\bm x=\bm r(s)}=\frac{\mathrm d\bm f(\bm r(s))}{\mathrm ds}

$ \iff\left.\left(|\bm v|^2\frac{\mathrm d\bm e_s}{\mathrm ds}+\frac{\mathrm d}{\mathrm ds}\left(\frac12|\bm v(\bm r(s))|^2\right)\bm e_s+\bm\nabla(P+\phi)\right)\right|_{\bm x=\bm r(s)}=0