曲率

式チートシート

$ R=\frac{(1+f'(x)^2)^\frac32}{|f''(x)|}

微少量で表す場合

$ R=\frac{((\mathrm{d}y)^2+(\mathrm{d}x)^2)^\frac32}{\left|\frac{\mathrm{d}^2y}{{\mathrm{d} x}^2}\right|(\mathrm{d}x)^3}

媒介変数表示

$ R=\frac{|\mathrm d(x,y)|^3}{y''\mathrm dx-x''\mathrm dy}

$ \pmb c=\pmb c_0+R\begin{pmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{pmatrix}

$ \dot{\pmb l}(t)//\dot{\pmb c}

$ \iff \dot l_x=-Rk\sin\theta\land\dot l_y=Rk\cos\theta\quad\text{.for }\exists k\in\R

$ \ddot{\pmb l}(t)=\ddot{\pmb c}

$ \iff \ddot l_x=-R\cos\theta\land\ddot l_y=-R\sin\theta

$ \mathrm{d}l_x=-\tan\theta{\mathrm{d}l_y}

$ \implies \mathrm{d}^2l_x=-\frac{\mathrm{d}\theta}{(\cos\theta)^2}\mathrm{d}l_y-\tan\theta\mathrm{d}^2l_y=-(1+(\tan\theta)^2)\mathrm{d}\theta\mathrm{d}l_y-\tan\theta\mathrm{d}^2l_y

$ \iff \mathrm{d}\theta=-\frac{\mathrm{d}^2l_x+\tan\theta\mathrm{d}^2l_y}{1+(\tan\theta)^2}=-(\cos\theta)^2\mathrm d^2l_x+\cos\theta\sin\theta\mathrm d^2l_y

$ \begin{dcases}\mathrm{d}\dot l_x=-Rk\cos\theta\mathrm{d}\theta=-\dot l_y\mathrm{d}\theta\\\mathrm{d}\dot l_y=-Rk\sin\theta\mathrm{d}\theta\end{dcases}

$ \iff

$ |\mathrm d\pmb l|^2=R^2k^2(\mathrm d\theta)^2

$ \mathrm d\dot f=\mathrm d\frac{\mathrm d f}{\mathrm d t}=\frac{\mathrm d^2f\mathrm dt-\mathrm d^2t\mathrm df}{\mathrm dt}=\mathrm d^2f-(\mathrm dt)'\mathrm df

曲線の曲がり具合を示す量．

曲率が大きいほど曲がり具合はきつい．

曲線の一階微分は接線の傾きであり，その接線の傾きがどう変化していくかを表したものが曲率なので，曲線の二階微分で表される．

実際にはかなり複雑な非線型函数になる

半径 R の円の曲率は 1/R．