渦度方程式
渦度$ \bm\omega=\bm\nabla\times\bm vが満たす方程式 $ \frac{\mathrm D\bm\omega}{\mathrm Dt}=\nu\bm\nabla^2\bm\omega+\bm\omega\cdot\bm\nabla\bm v
導出
$ \bm\nabla\rho=\bm0を仮定する
$ \frac{\mathrm D\bm v}{\mathrm Dt}=-\frac1\rho\bm\nabla p+\nu\bm\nabla^2\bm v
$ \implies \bm\nabla\times\frac{\mathrm D\bm v}{\mathrm Dt}=-\frac1\rho\bm\nabla\times\bm\nabla p+\nu\bm\nabla\times\bm\nabla^2\bm v
$ =\bm 0+\nu\bm\nabla\times\bm\nabla^2\bm v
$ = \nu\bm\nabla^2\bm\omega
$ \iff \frac{\partial\bm\omega}{\partial t}+\bm\nabla\times(\bm v\cdot\bm\nabla\bm v)=\bm\nabla^2\bm\omega
$ \iff \frac{\partial\bm\omega}{\partial t}+\bm v\cdot\bm\nabla\bm\omega-\bm\omega\cdot\bm\nabla\bm v=\nu\bm\nabla^2\bm\omega
$ \because\bm v\cdot\bm\nabla\bm v=\bm\omega\times\bm v+\bm\nabla\left(\frac12|\bm v|^2\right)
$ \implies\bm\nabla\times(\bm v\cdot\bm\nabla\bm v)=\bm\nabla\times(\bm\omega\times\bm v)+\bm 0
$ =\bm\nabla\cdot(\bm v\bm\omega)-\bm\nabla\cdot(\bm\omega\bm v)
$ =\bm v\cdot\bm\nabla\bm\omega-\bm\omega\cdot\bm\nabla\bm v
$ \because \bm\nabla\cdot\bm\omega =0
$ \underline{\iff \frac{\mathrm D\bm\omega}{\mathrm D t}=\bm\omega\cdot\bm\nabla\bm v+\nu\bm\nabla^2\bm\omega\quad}_\blacksquare
References
結果しか書かれていない
だいぶ詳しそう
外力potentialを削る過程が書かれていない
物理的解釈を詳しく図解している