Lagrangeの渦定理

from 渦度方程式

完全流体かつbarotropic流体な流体に保存力しか作用していない時、渦の不生不滅が成立する

すなわち、

ある時刻で$ \bm\Omega=\bm 0なら、ずっと$ \bm\Omega=\bm 0である

ある時刻で$ \bm\Omega\neq\bm 0なら、ずっと$ \bm\Omega\neq\bm0である

$ \bm\Omega：渦度

粘性のすくないサラサラの液体中で渦を作ったとき、渦がなかなか消えないのはこの定理に基づく

浴槽の水などで試してみるといいtakker.icon

導出

物質表示された完全流体の運動方程式$ \left(\tilde{\bm f}-\tilde\rho\frac{\partial^2\bm\phi}{{\partial t}^2}\right)\cdot\bm F=\bm\nabla\tilde Pから出発する

$ -\tilde{\bm f}+\bm\nabla\tilde P=\tilde\rho\bm\nabla Qとなる$ Qを定義する

Lagrangeの渦定理の前提条件から存在が保証される

$ \left(\tilde{\bm f}-\tilde\rho\frac{\partial^2\bm\phi}{{\partial t}^2}\right)\cdot\bm F=\bm\nabla\tilde P

$ \implies\ddot{\bm\phi}\cdot\bm F=\bm\nabla Q

$ \implies(\ddot{\bm\phi}\cdot\bm F)\times\overleftarrow{\bm\nabla}=\bm 0

$ \because∇⨯∇φ=0

scalar potentialはrotationを取ると消えてしまうということが、この定理の重要なポイント

$ \iff(\bm\nabla\ddot{\bm\phi}\cdot\bm F)^\top:{\Large\bm\epsilon}+\ddot{\bm\phi}\cdot(\bm F\times\overleftarrow{\bm\nabla})=\bm 0

$ {\Large\bm\epsilon}：3階完全反対称tensor

$ \iff(\bm\nabla\ddot{\bm\phi}\cdot\bm F)^\top:{\Large\bm\epsilon}=\bm 0

$ \because∇⨯∇φ=0だから$ \bm F\times\overleftarrow{\bm\nabla}=\bm0

$ \iff\ddot{\bm F}^\top\cdot\bm F=\left(\ddot{\bm F}^\top\cdot\bm F\right)^\top

$ \because\bm A:{\Large\bm\epsilon}=\bm 0\iff\bm A=\bm A^\top

$ \iff\frac{\partial}{\partial t}(\dot{\bm F}^\top\cdot\bm F)-\dot{\bm F}^\top\cdot\dot{\bm F}=\frac{\partial}{\partial t}(\bm F^\top\cdot\dot{\bm F})-\dot{\bm F}^\top\cdot\dot{\bm F}

$ \iff\frac{\partial}{\partial t}(\dot{\bm F}^\top\cdot\bm F-\bm F^\top\cdot\dot{\bm F})=\bm0

$ \iff\frac{\partial}{\partial t}(\bm F^\top\cdot\left.\bm l\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}^\top\cdot\bm F-\bm F^\top\cdot\left.\bm l\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\bm F)=\bm0

$ \bm l：速度勾配tensor

$ \iff\frac{\partial}{\partial t}(-2\bm F^\top\cdot\left.\bm w\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}^\top\cdot\bm F)=\bm0

$ \bm w：spin tensor

$ \iff\frac{\partial}{\partial t}(\bm F^\top\cdot\left.\bm w\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\bm F)=\bm0

Lie時間微分と似ている？takker.icon

$ \implies\bm F^\top\cdot\left.\bm w\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\bm F=\left.\left(\bm F^\top\cdot\left.\bm w\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\bm F\right)\right|_{t=0}

$ =\left.\bm w\right|_{\bm x=\bm X,t=0}

$ \because\left.\bm F\right|_{t=0}=\bm I,\bm\phi(\bm X,0)=\bm X

$ \implies{\Large\bm\epsilon}:\left(\bm F^\top\cdot\left.\bm w\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\bm F\right)=\left.\bm\Omega\right|_{\bm x=\bm X,t=0}

$ \bm\Omega={\Large\bm\epsilon}:\bm w=\bm\nabla\times\bm v：渦度

$ \implies{\Large\bm\epsilon}\vdots\left(\bm F^\top\cdot\left.\bm w\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\bm F\right)\bm F^\top=\left.\bm\Omega\right|_{\bm x=\bm X,t=0}\cdot\bm F^\top

$ \iff J\left.\bm\Omega\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}=\left.\bm\Omega\right|_{\bm x=\bm X,t=0}\cdot\bm F^\top

$ \because{\Large\bm\epsilon}\vdots(\bm A^\top\cdot\bm B\cdot\bm A)\bm A^\top=\epsilon_{ijk}A_{li}B_{lm}A_{mj}A_{nk}

$ = \epsilon_{ijk}\epsilon_{lmn}A_{0i}A_{1j}A_{2k}B_{lm}

$ \becauseLevi-Civita記号#6610c0c21280f00000e72ec2

$ = (\det\bm A){\Large\bm\epsilon}:\bm B

$ \iff J\left.\bm\Omega\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}=\bm F\cdot\left.\bm\Omega\right|_{\bm x=\bm X,t=0}

$ \iff J\bm F^{-1}\cdot\left.\bm\Omega\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}=\left.\bm\Omega\right|_{\bm x=\bm X,t=0}

$ \iff \left.\bm\Omega\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot J{\bm F^{-1}}^\top=\left.\bm\Omega\right|_{\bm x=\bm X,t=0}

$ J{\bm F^{-1}}^\topは面積変化率に相当する

面積変化率をそのときの渦度で変換すると、初期配置の渦度になる？

順序逆じゃない？takker.icon

解釈が変になりそう

2025-06-16 15:23:34 いや違う。これであってる

ここから面積分すればいい

$ \iff\int_{S_0}\left.\bm\Omega\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot J{\bm F^{-1}}^\top\cdot\mathrm d\bm A=\int_{S_0}\left.\bm\Omega\right|_{\bm x=\bm X,t=0}\cdot\mathrm d\bm A\quad\text{.for }\forall S_0

$ \iff\int_{S_t}\bm\Omega\cdot\mathrm d\bm a=\int_{S_0}\left.\bm\Omega\right|_{\bm x=\bm X,t=0}\cdot\mathrm d\bm A\quad\text{.for }\forall S_0

$ \because\mathrm d\bm a=J{\bm F^{-1}}^\top\cdot\mathrm d\bm A

$ S_t:=\{\bm x|\exist\bm X\in S_0:\bm x=\bm\phi(\bm X,t)\}

$ =\left.\int_{S_t}\bm\Omega\cdot\mathrm d\bm a\right|_{t=0}\quad\text{.for }\forall S_0

$ \because t=0にて$ \mathrm d\bm a=\mathrm d\bm A

$ \underline{\iff\Gamma(S_t,t)=\mathrm{const.}\quad\text{.for }\forall S_0\quad}_\blacksquare

$ \Gamma(S_t,t):=\int_{S_t}\bm\Omega\cdot\mathrm d\bm a=\int_{\partial S_t}\bm v\cdot\mathrm d\bm x：循環

かなりきれいな式になったtakker.icon

これってKelvinの循環定理では？

$ \frac{\partial}{\partial t}(\Gamma(S_t,t))=0

$ \frac{\partial}{\partial t}(\Gamma(S_t,t))=\int_{S_0}\left(\left.\frac{\mathrm D\bm\Omega}{\mathrm Dt}\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot J{\bm F^{-1}}^\top+\left.\bm\Omega\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\left.(({\rm tr}\bm l)\bm I-\bm l)\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot J{\bm F^{-1}}^\top\right)\cdot\mathrm d\bm A

面積変化率の時間導函数

$ =\int_{S_0}\left(\left.\frac{\mathrm D\bm\Omega}{\mathrm Dt}\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}+\left.\bm\Omega\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\left.(({\rm tr}\bm l)\bm I-\bm l)\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\right)\cdot J{\bm F^{-1}}^\top\cdot\mathrm d\bm A

$ =\int_{S_t}\left(\frac{\mathrm D\bm\Omega}{\mathrm Dt}+\bm\Omega\cdot(({\rm tr}\bm l)\bm I-\bm l)\right)\cdot\mathrm d\bm a

$ \therefore\frac{\partial}{\partial t}(\Gamma(S_t,t))=0\quad\text{.for }\forall S_0

$ \implies\int_{S_t}\left(\frac{\mathrm D\bm\Omega}{\mathrm Dt}+\bm\Omega\cdot(({\rm tr}\bm l)\bm I-\bm l)\right)\cdot\mathrm d\bm a=0\quad\text{.for }\forall S_0

$ \implies\frac{\mathrm D\bm\Omega}{\mathrm Dt}+\bm\Omega\cdot(({\rm tr}\bm l)\bm I-\bm l)=0

うーん、何かおかしいような……

以上より、以下が示された

ある時刻で$ \bm\Omega=\bm 0なら、ずっと$ \bm\Omega=\bm 0である

ある時刻で$ \bm\Omega\neq\bm 0なら、ずっと$ \bm\Omega\neq\bm0である

計算メモ

参照先の式b をこのページの記号で大ざっぱに書き直して、式展開がずれていないか確かめる

$ \dot F_{xx}F_{xy}-\dot F_{xy}F_{xx}+\dot F_{yx}F_{yy}-\dot F_{yy}F_{yx}=\dot F^\top_{xi}F_{iy}-F^\top_{xi}\dot F_{iy}

うん。これでよさそう

3次元の式を、補足説明から類推すると

$ \bm\Omega=\frac1J\bm F\cdot\bm\Omega_0

References