保存力
$ \exists f;\pmb{F}=-\pmb{\nabla}fを満たす力$ \pmb{r}\mapsto\pmb{F}のこと $ \pmb{r}は位置
位置以外も可能だっけ？忘れた
全微分の関係式$ \mathrm{d}f=\pmb{\nabla}f\cdot\mathrm{d}\pmb{r}を使う $ m\ddot{\pmb{r}}=\pmb{F}
$ \implies m\ddot{\pmb{r}}\cdot\mathrm{d}\pmb{r}=\pmb{F}\cdot\mathrm{d}\pmb{r}
$ \iff m(\mathrm{d}\dot{\pmb{r}})\cdot\dot{\pmb{r}}=-\pmb{\nabla}f\cdot\mathrm{d}\pmb{r}
$ \iff m(\mathrm{d}\dot{\pmb{r}})\cdot\dot{\pmb{r}}+\pmb{\nabla}f\cdot\mathrm{d}\pmb{r}=0
$ \iff m\mathrm{d}\left(\frac12\dot{\pmb{r}}^2\right)+\mathrm{d}f=0
$ \iff \mathrm{d}\left(\frac12m\dot{\pmb{r}}^2+f\right)=0
$ \underline{\iff \frac12m\dot{\pmb{r}}^2+f=\text{Const.}\quad}_\blacksquare
同様に全微分の関係式を使えば、$ \pmb{F}の周回積分が0になることも示せる $ \oint \pmb{F}\cdot\mathrm{d}\pmb{r}=-\oint \pmb{\nabla}f\cdot\mathrm{d}\pmb{r}=-\oint\mathrm{d}f
$ \int_A\mathrm{d}f=f(Aの終点)-f(Aの始点)だから、全微分の周回積分は0になる $ \therefore \oint \pmb{F}\cdot\mathrm{d}\pmb{r}=0
逆も成り立つはず
e.g.
動摩擦力$ -\mu'mg\hat{\dot{\pmb{r}}} 時間が逆行しない限り、動摩擦力の経路積分は$ \int_S(-\mu'mg\hat{\dot{\pmb{r}}})\cdot\mathrm{d}\pmb{r}=-\mu'mg\int_S|\mathrm{d}\pmb{r}|=-\mu'mg\times S\text{の経路長}となり明らかに保存しない $ \because-\mu'mg\hat{\dot{\pmb{r}}}\cdot\mathrm{d}\pmb{r}=-\mu'mg\hat{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}\pmb{r}\cdot\mathrm{d}\pmb{r}}{|\mathrm{d}\pmb{r}|}=-\mu'mg\hat{\mathrm{d}t}|\mathrm{d}\pmb{r}|
これらの仕事は熱energyに変換される
雑にwikipedia見る分にはそれでよさそうだが……