微小ひずみの適合条件
$ \bm\nabla^2\bm\varepsilon+\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\varepsilon=\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\varepsilon+(\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\varepsilon)^\top
$ \bm\varepsilon=\frac12(\bm\nabla\bm u+\bm\nabla\bm u^\top)から$ \bm uを消去したものに等しい
表記
添字表記 (正規直交基底)
$ \partial_k^2\varepsilon_{ij}+\partial_i\partial_j\varepsilon_{kk}=\partial_i\partial_k\varepsilon_{kj}+\partial_j\partial_k\varepsilon_{ki}
太字表記
(A)$ \bm\nabla\times\bm\varepsilon\times\overleftarrow{\bm\nabla}=\bm O
$ \bm Oは零tensor
(B)$ \bm\nabla^2\bm\varepsilon+\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\varepsilon=\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\varepsilon+(\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\varepsilon)^\top
添字表記と対応関係がわかりやすい
Cross積がないぶんこちらの方が計算しやすい
どちらも同値(なはず)
(A)の導出
$ \bm\varepsilon=\frac12(\bm\nabla\bm u+\bm\nabla\bm u^\top)\implies\bm\nabla\times\bm\varepsilon\times\overleftarrow{\bm\nabla}=\bm O
$ \bm\nabla\times\bm\varepsilon\times\overleftarrow{\bm\nabla}={\Large\bm\epsilon}:\bm\nabla\bm\varepsilon\overleftarrow{\bm\nabla}:{\Large\bm\epsilon}
添字記法を使うと$ \epsilon_{ikl}\partial_k\partial_n\varepsilon_{lm}\epsilon_{mnj}となる
$ =\frac12{\Large\bm\epsilon}:\bm\nabla(\bm\nabla\bm u+\bm u\overleftarrow{\bm\nabla})\overleftarrow{\bm\nabla}:{\Large\bm\epsilon}
$ \bm u：変位
$ = \frac12{\Large\bm\epsilon}:\bm\nabla\bm\nabla\bm u\overleftarrow{\bm\nabla}:{\Large\bm\epsilon}+\frac12{\Large\bm\epsilon}:\bm\nabla\bm u\overleftarrow{\bm\nabla}\overleftarrow{\bm\nabla}:{\Large\bm\epsilon}
$ = \bm O
$ \bm\nabla\bm\nablaおよび$ \overleftarrow{\bm\nabla}\overleftarrow{\bm\nabla}の部分で対称性が現れるため、Levi-Civita記号の反対称性で消える 一般化すると、任意のvector$ \bm vに対して$ \bm\nabla\times({\cal\bm S}:\bm\nabla\bm v)\times\overleftarrow{\bm\nabla}=\bm\nabla\times({\cal\bm W}:\bm\nabla\bm v)\times\overleftarrow{\bm\nabla}=\bm Oが成立するということかtakker.icon
$ \bm\nabla\times\bm\varepsilon\times\overleftarrow{\bm\nabla}=\bm O\implies\bm\varepsilon=\frac12(\bm\nabla\bm u+\bm\nabla\bm u^\top)\quad\text{.for }\exist\bm u
未証明
(A)と(B)の同値性を示す
$ \bm B=\bm B^\topのとき
$ [\bm\nabla\bm\nabla\times\times\bm B]_{ij}=\begin{dcases}\partial_k^2B_{ll}-\partial_l\partial_kB_{kl}-\partial_k\partial_lB_{lk}+\partial_l^2B_{kk}&\text{if }i=j\land\{i,k,l\}=\{0,1,2\}\\-\partial_k^2B_{ji}+\partial_j\partial_kB_{ki}+\partial_k\partial_iB_{jk}-\partial_j\partial_iB_{kk}&\text{if }\{i,j,k\}=\{0,1,2\}\end{dcases}
$ =\begin{dcases}\partial_k^2B_{ll}+\partial_l^2B_{kk}-2\partial_k\partial_lB_{kl}&\text{if }i=j\land\{i,k,l\}=\{0,1,2\}\\-\partial_k^2B_{ij}+\partial_j\partial_kB_{ki}+\partial_i\partial_kB_{kj}-\partial_i\partial_jB_{kk}&\text{if }\{i,j,k\}=\{0,1,2\}\end{dcases}
$ \bm\nabla\bm\nabla\times\times\bm B=\bm 0のとき
$ \partial_k^2B_{ll}+\partial_l^2B_{kk}-2\partial_k\partial_lB_{kl}=0\quad\text{.for }\forall l
$ \because k\ne lは仮定から、$ k=lは$ 0=0で恒等式になる
$ \implies \partial_k^2{\rm tr}\bm B+\bm\nabla^2B_{kk}-2\partial_k[\bm\nabla\cdot\bm B]_k=0 ー①
$ \implies \bm\nabla^2{\rm tr}\bm B=\bm\nabla\cdot\bm B\cdot\overleftarrow{\bm\nabla}
$ -\partial_k^2B_{ij}+\partial_j\partial_kB_{ki}+\partial_i\partial_kB_{kj}-\partial_i\partial_jB_{kk}=0\quad\text{.for }\forall k
$ \because k=i,jは$ 0=0で恒等式になる
$ \implies-\bm\nabla^2B_{ij}+\partial_j[\bm\nabla\cdot\bm B]_i+\partial_i[\bm\nabla\cdot\bm B]_j-\partial_i\partial_j{\rm tr}\bm B=0
$ \iff-\bm\nabla^2B_{ij}+\partial_j[\bm\nabla\cdot\bm B]_i+\partial_i[\bm\nabla\cdot\bm B]_j-\partial_i\partial_j{\rm tr}\bm B=0\quad\text{.for }\forall i,j
$ \because①
$ \iff \bm\nabla^2\bm B+\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm B=\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm B+(\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm B)^\top
$ \therefore \bm\nabla\bm\nabla\times\times\bm B=\bm 0\implies\bm\nabla^2\bm B+\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm B=\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm B+(\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm B)^\top
逆も成り立つはずだが……
正規直交基底での成分表示を求める
Reference