計算ログ：微小ひずみの適合条件の太字表記から正規直交基底での成分表示を求める

$ \bm\nabla^2\bm\varepsilon+\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\varepsilon=\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\varepsilon+(\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\varepsilon)^\top

$ \bm\nabla^2\varepsilon_{ii}+\partial_i^2{\rm tr}\bm\varepsilon=\sum_j2\partial_i\partial_j\varepsilon_{ji}

$ \iff \sum_k\partial_k^2\varepsilon_{ii}+\partial_i^2\sum_j\varepsilon_{jj}=\sum_j2\partial_i\partial_j\varepsilon_{ji}

$ \iff\partial_j^2\varepsilon_{ii}+\partial_k^2\varepsilon_{ii}+\partial_i^2\varepsilon_{jj}+\partial_i^2\varepsilon_{kk}=2\partial_i\partial_j\varepsilon_{ij}+2\partial_i\partial_k\varepsilon_{ik}

$ \iff\partial_j^2\varepsilon_{ii}+\partial_i^2\varepsilon_{jj}-2\partial_i\partial_j\varepsilon_{ij}+(\partial_k^2\varepsilon_{ii}+\partial_i^2\varepsilon_{kk}-2\partial_i\partial_k\varepsilon_{ik})=0

あれ？2つの条件が足し合わされちゃってる

てことは太字表記の式の導出に誤りがあるな

$ \bm\nabla^2{\rm tr}\bm B-\bm\nabla\cdot\bm B\cdot\overleftarrow{\bm\nabla}=\partial_{ii}B_{jj}+\partial_{jj}B_{kk}+\partial_{kk}B_{ii}+\partial_{jj}B_{ii}+\partial_{kk}B_{jj}+\partial_{ii}B_{kk}-2\partial_i\partial_jB_{ij}-2\partial_j\partial_kB_{jk}-2\partial_k\partial_iB_{ki}

$ =(\partial^2_iB_{jj}+\partial_j^2B_{ii}-2\partial_i\partial_jB_{ij})+(\partial^2_jB_{kk}+\partial_k^2B_{jj}-2\partial_j\partial_kB_{jk})+(\partial^2_kB_{ii}+\partial_i^2B_{kk}-2\partial_k\partial_iB_{ki})

$ = 0

$ \bm\nabla^2\bm\varepsilon+\bm\nabla\bm\nabla{\rm tr}\bm\varepsilon=\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\varepsilon+(\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\varepsilon)^\top

$ \implies \bm\nabla^2{\rm tr}\bm\varepsilon+\bm\nabla^2{\rm tr}\bm\varepsilon=\bm\nabla\cdot\bm B\cdot\overleftarrow{\bm\nabla}+\bm\nabla\cdot\bm B\cdot\overleftarrow{\bm\nabla}

$ \iff \bm\nabla^2{\rm tr}\bm B-\bm\nabla\cdot\bm B\cdot\overleftarrow{\bm\nabla}=0

なので、式の変更は不要

$ \bm\nabla^2\varepsilon_{ij}+\partial_i\partial_j{\rm tr}\bm\varepsilon=\sum_k(\partial_i\partial_k\varepsilon_{kj}+\partial_j\partial_k\varepsilon_{ki})

$ \iff (\partial_i^2+\partial_j^2+\partial_k^2)\varepsilon_{ij}+\partial_i\partial_j(\varepsilon_{ii}+\varepsilon_{jj}+\varepsilon_{kk})=\partial_i^2\varepsilon_{ij}+\partial_i\partial_j\varepsilon_{jj}+\partial_i\partial_k\varepsilon_{kj}+\partial_j\partial_i\varepsilon_{ii}+\partial_j^2\varepsilon_{ji}+\partial_j\partial_k\varepsilon_{ki}

$ \iff \partial_k^2\varepsilon_{ij}+\partial_i\partial_j\varepsilon_{kk}=\partial_i\partial_k\varepsilon_{kj}+\partial_j\partial_k\varepsilon_{ki}