体積圧縮係数
$ \mathrm d\varepsilon_{xx}=m_v\mathrm d\sigma_{xx}'
$ \mathrm d\sigma_{xx}'=\frac1{m_v}\mathrm d\varepsilon_{xx}
非線型関係なので、微分形式で表現する
有効応力ーひずみ関係$ \mathrm d\pmb\sigma'=(K\pmb I\pmb I+2G{\cal\pmb D}):\mathrm d\pmb\varepsilon(Hookeの法則の微分形式)の等方弾性体の弾性係数$ K,Gで表示する $ m_v:=\frac{3}{3K+4G}=\frac{1+\nu}{1-\nu}\frac{1-2\nu}{E}
導出
1次元圧縮は側方拘束状態で1方向に圧縮した状態だから、$ \mathrm d\varepsilon_{yy}=\mathrm d\varepsilon_{zz}=0と言い換えられる この条件で$ m_v=\frac{\mathrm d\varepsilon_{xx}}{\mathrm d\sigma_{xx}'}を求めればいい
$ \mathrm d\sigma_{xx}'=K{\rm tr}\mathrm d\pmb\varepsilon+2G\left(\mathrm d\varepsilon_{xx}-\frac13{\rm tr}\mathrm d\pmb\varepsilon\right)
$ = K\mathrm d\varepsilon_{xx}+2G\left(\mathrm d\varepsilon_{xx}-\frac13\mathrm d\varepsilon_{xx}\right)
$ \because\mathrm d\varepsilon_{yy}=\mathrm d\varepsilon_{zz}=0\implies{\rm tr}\mathrm d\pmb\varepsilon=\mathrm d\varepsilon_{xx}
$ =\frac{3K+4G}{3}\mathrm d\varepsilon_{xx}
$ \underline{\therefore m_v=\frac{\mathrm d\varepsilon_{xx}}{\mathrm d\sigma_{xx}'}=\frac{3}{3K+4G}\quad}_\blacksquare
当初は$ m_v=\frac1Kだと思っていたtakker.icon
$ E_c:=\frac 1{m_v}を側方拘束弾性率と呼ぼうtakker.icon