三笠の1次元圧密方程式

導出

$ \mathrm dV_w=\frac{\partial v}{\partial z}\mathrm dt\cdot A\mathrm dz

となる

$ v=-k\frac{\partial}{\partial z}(\underbrace{z}_{位置水頭}+\underbrace{H-z}_{静水圧水頭}+\underbrace{u/\gamma_w}_{過剰間隙水圧水頭})=-\frac k{\gamma_w}\frac{\partial u}{\partial z}

$ \mathrm d\sigma'=\frac1{m_v}\mathrm d\varepsilon

$ \mathrm d\varepsilon=-\frac{1}{1+e_0}\mathrm de

体積収縮量と間隙変化の関係より

$ \mathrm d V=-\frac{\partial e}{\partial t}\mathrm dt\cdot A\mathrm dz

$ \mathrm dV=\mathrm dV_v=\mathrm dV_w

力の釣り合いより

$ \mathrm du+\mathrm d\sigma'=0

外荷重が変化しないと過程した

以上を代入して

$ -\frac{\partial e}{\partial t}\mathrm dt\cdot A\mathrm dz=\frac{\partial v}{\partial z}\mathrm dt\cdot A\mathrm dz

$ \implies\frac{\partial\varepsilon}{\partial t}=\frac{\partial v}{\partial z}

$ \implies\frac{\partial\varepsilon}{\partial t}=-\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac k{\gamma_w}\frac{\partial u}{\partial z}\right)

$ \implies\frac{\partial\varepsilon}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{k}{\gamma_wm_v}\frac{\partial\varepsilon}{\partial z}\right)

$ \therefore\frac{\partial\varepsilon}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial z}\left(\bar{c_v}\frac{\partial\varepsilon}{\partial z}\right)