準同型写像 - pogi-log

準同型写像

準同型写像(homomorphism)

全単射ではない写像なら準同型写像

全射: 全射準同型写像

単射: 単射準同型写像

定義

群$ G, G' と写像$ f : G \to G' に対し

$ f: G \to G' : (群)準同型写像(group homomorphism)

$ \xLeftrightarrow{\mathrm{def}} \forall x,y \in G に対し、$ f(ab) = f(a)f(b) が成立する。

群の構造を保つような写像

準同型写像の例

例1: 指数

$ \mathbb{R}, \mathbb{R}_{>0} をそれぞれ環とみる。このとき、写像$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_{>0}; x \mapsto e^x を考えると、

$ f(x + y) = e^{x+y} = e^xe^y = f(x)f(y) となるので準同型写像である。

$ \mathbb{R} : 実数集合

$ \mathbb{R_{>0}} : 正の実数集合

例2:

$ \det:GL(n, \mathbb{R})→\mathbb{R}^×

$ \det(AB) = \det(A)\det(B)

G = {1, 2, 3}, G' = {1, 2, 3}

準同型写像の基本性質

群$ G, G' と群準同型写像$ f : G \to G' にたいし、以下が成立する。

(1) $ f(e_G)=e_{G'}

ただし、$ e_G, e_{G'} はそれぞれ$ G,G' の単位元とする。

(2) 任意の$ a \in G に対し、$ f(a^{-1}) = f(a)^{-1} となる。